1.Даны точки: А(-2;3;4) и В(4;-1;6 а) Найти координаты середины отрезка АВ. б) Найдите координаты и длину вектора AB´ . в) Разложите вектор AB ´ по координатным векторам. 2 Даны векторы a´=-i´+2k´ и b´ (2;6;-4). Найти координаты вектора a´ , если c´= 1/2 b´ −2a´ . 3.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах a´ =3i´+5j ´+4k´ и b´ (1;2;3). 4.Даны векторы:а´ (1 ; 4 ;−3) и b´ ( m;−1 ;−2 ) .При каких m векторы перпендикулярны?

1.

А( -2 ; 3 ; 4 ) , В( 4 ; -1 ; 6 )

а)

Обозначим координаты середины отрезка AB  точкой F;

F = (-2 + 4)/2 = 1;  (3 - 1)/2 = 1; (4 + 6)/2 = 5 = (1; 1; 5) ;

F = (1; 1; 5).

б)

Найдём координаты AB = ( 4 - (-2) ; (-1 ) - 3 ; 6 - 4 ) = ( 6 ; -4 ; 2 ) ;

Найдём длину вектора AB = √6² + (-4)² + 2² = √36 + 16 + 4 = √56 = 2√14 ;

2.

a = -i + 2k , b(2;6;-4) , c = 1/2 b −2a

Найдём координаты вектора a  :

а ( 0; -1 ; 2 ) , b (2 ; 6; -4 )

c (( 1/2 ) · 2 - 2·  0; (1/2) · 6 - 2 · (-1); 1/2· (-4) - 2 ·2 ) = (1; 5; -6) 4)

2:4=m:(-2)=1:n

2:4=m:(-2)   ⇒ 2·(-2)=4m  ⇒  m=-1

2:4=1:n    ⇒2n=4  ⇒  n=2

a (2; -1; 1}, b (4; -2 ; 2 )

|a|=√(2²+(-1)²+1²)=√6

|b|=√4²+(-2)²+2²=√24=2√6

1) 49+53=102(км/ч)-скорость сближения. 2) 102•2=204(км)- расстояние между конечными станциями. 3) (49+53)•2= 204км)- расстояние между электричками через 2 часа после встречи. ответ: 204км расстояние между станциями; 204 км будет между электричками через 2 часа. Схему, к сожалению, я не могу в телефоне изобразить! Но это легко: чертим отрезок, стрелочки-скорости с двух концов, навстречу друг другу, расстояние внизу -дуга. Встреча -флажок, а потом от места встречи стрелочки со скоростями в противоположных направлениях. Т.е., сначала было встречное движение, а потом - движение в противоположных направлениях.

Так как они двигаются навстречу друг другу, то расстояние между ними уменьшается со скоростью v1+v2 = 102 км/ч
Отсюда S = 102*2 = 204 км (между станциями)
Если учесть тот факт, что поезда, достигая конечных пунктов, разворачиваются и едут обратно, то: первому после встречи останется 106 км, второму, соответственно, 98 км. Первый проезжает за 2 часа 98 км.
То есть через два часа ему останется проехать до конечной остановки 8 км. Второй, наоборот, за 2 часа проезжает 106 км. Но ему остается лишь 98 км. Тогда за два часа он доезжает до конечной остановки, разворачивается и проезжает еще 8 км в обратном направлении. 
Таким образом, расстояние между поездами через 2 часа после их встречи составляет 204 - 16 = 188 км