На доске записано 10 чисел: 1², 2², …, 10². За одну операцию разрешается стереть с доски любые два числа a, b, а вместо них записать числа (а+в)/2 и √(ав) . Может ли получиться так, что в результате нескольких операций все записанные на доске числа будут больше 40? Поясните МАКСИМАЛЬНО подробно. Актуально до 15.00 МСК, 17.06.20

НОД(100, 85) = НОД(100-85, 85) = НОД(15, 85) = НОД(15, 85 - 15*5) = 
= НОД(15, 5) = 5

НОД(378, 270) = НОД(378 - 270, 270) = НОД(108, 270) = НОД(108, 270 - 108*2) = НОД(108, 54) = 54

НОД(1001, 998) = НОД(1001 - 998, 998) = НОД(3, 998) = НОД(3, 998 - 3*332) = НОД(3, 2) = НОД(3 - 2, 1) = НОД(2, 1) = 1


Разложим числа на простые множители:

100 = 2 * 2 * 5 * 5
85 = 5 * 17

НОД(100, 85) = 5 (общие делители)

378 = 2 * 3 * 3 * 3 * 7
270 = 2 * 3 * 3 * 3 * 5

НОД(378, 270) = 2 * 3 * 3 * 3 = 54

1001 = 7 * 11 * 13
998 = 2 * 499

НОД(1001, 998) = 1 (т.к. нет общих делителей)

Подозреваю, что ошибка в условии и должно быть |M-N|. Если ошибки нет, то, разумеется M=0 и все слишком очевидно.

Итак, |M-N| минимально, когда прямоугольников обоих типов поровну. Но это невозможно, т. к. площадь в 3000 клеток нельзя покрыть кусками по 4+5=9 клеток.

Удобно считать прямоугольники парами: в пару входит один прямоугольник 1×4 и один 1×5.

Итак, очевидно, таких пар должно быть как можно больше. Сколько же? 3000 клеток парами не покрыть, покрыть можно (теоретически) только 2997 клеток, т. к. 2997 делится на 9. Но 3 остаются, их не покрыть.

Уменьшим число пар на 1. Тогда ими можно покрыть... Дальше попробуйте додумать сами.