Найти длину дуги кривой φ= от r=1 до r=3 С РЕШЕНИЕМ (В полярных координатах, r-полярный радиус, φ - полярный угол) ( задача 1684 из Демидовича для втузов(4 издание) )

(1)

α=(1/2)*(r+1/r)

Используем формулу длины дуги кривой  (1),

/не нашел фи, вместо нее в формулу поставил альфа/, получим

α'=(1/2)*(1-(1/r²))=1/2-(1/(2r²)

α'²=(1/4+(1/(4r⁴))-1/(2r²))

r²α'²+1=(r²/4)+(1/(4r²))-(1/(2)+1=(r²/4)+(1/(4r²))+(1/(2)=((r/2)+(1/(2r)))²

√((r/2)+(1/(2r)))²=(r/2)+(1/(2r)

=r²/4+lnIrI/2

Подставим пределы интегрирования. получим 3²/4+(ln3)/2-(1/4-ln1)=

8/4-(ln3)/2=2-(ln3)/2

На циферблате имеется 60 делений, на которые приходится 360 градусов. Значит, когда стрелка пройдёт 1 деление, то она  переместиться на   360:60=6 градусов. 
Минутная стрелка за 15 мин пройдёт 6*15=90 градусов.
Определим, сколько делений пройдёт часовая стрелка за то время, пока мин. стрелка проходит 15 минут, зная, что часовая стрелка проходит 5 делений за 1 час, то есть за то время, за которое минутная стрелка проходит 60 делений.
5 делений   -  1 час (60 мин)
 х делений   -  15 минут              х=5*15:60=1,25 (делений)
Теперь определим, на сколько градусов повернётся часовая стрелка, пока минутная поворачивается на 90 градусов (то есть минутная проходит 15 минут):
     1 деление  - 6 градусов
 1,25 делений -  х градусов      х=1,25*6:1=7,5 (градусов)
Угол между минутной и часовой стрелками  составляет
  90-7,5=82,5 градусов=82 градуса 30 минут

ДУМАЕМ
1)Догонят из-за разности скоростей.
2) Второму надо проехать больше - третий за 15 минут уедет.
РЕШАЕМ
Время встречи первого - догнал третьего.
t(1,3) = S / (V1-V3) = 30/(15-9) = 5 часов - 
Переводим 15 мин = 0,25 часа.
Вычисляем путь третьего за  0,25 часа
S3 = V3*t3 = 9*0.25 = 2.25 км.
Время встречи встречи второго - догнал третьего
t(2,3) = (S +S3)/(V2-V3) =(30+2.25)/(15-9) = 5.375 час = 5 час 22.5 мин.
Интервал будет в 22.5 мин. - УРА!, но не правильно.
ДУМАЕМ ещё сильнее.
НАДО найти ИНТЕРВАЛ времени, который возник из-за разности путей после разного времени старта t3=15 мин за счет разности скоростей 15-9.
РЕШАЕМ В ОДНО УРАВНЕНИЕ.
dT= (V3*t3) / (V2-V3) = 9*0.25/(15-9) = 9/6*0.75= 0.375 час = 22,5 мин.
Вот это ПРАВИЛЬНОЕ решение