1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²Доказать методом МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ​

Доказать утверждение методом математической индукции.

В скобке правой части сумма арифметической прогрессии с разностью, равной 1 и первым членом 1, ее сумма равна (1+n)*n/2, поскольку скобка справа в квадрате, то  (1 + 2 + ... + n)²= ((1+n)*n/2)²=

(1+n)²*n²/4, значит, нужно доказать, что 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+n)²*n²/4,

1. Берем n=1 /база/, проверяем справедливость равенства.1³=2²*1²/4=1

2. Предполагаем, что для n=к равенство выполняется.

т.е. 1³ + 2³ + ... + к³ = (1+к)²*к²/4

3. Докажем, что для n= к+1 равенство выполняется. т.е., что

1³ + 2³ + ... + (к+1)³ = (1+к)²*(2+к)²/4

(1³ + 2³ + ... к³)+ (к+1)³ =(1+к)²*к²/4+ (к+1)³=(к+1)²*(к²+4к+4)/4=(1+к)²*(2+к)²/4

Доказано.

Система уравнений.
Пусть всего  вязанных вещей  х  штук.
Из них :  
Жилетов   16 штук
Шарфов    16 : 2 = 8  штук
Шапок         у штук
Свитеров    3у штук
По условию задачи :
1 уравнение .  Всего вещей  на витрине :
х = 16 + 8 + у +3у
2 уравнение.   Жилетов и шапок столько же, сколько шарфов :
 16 + у = 3у   
 
Решим систему:
{ x = 16 + 8 + y + 3y    ⇔   {x = 24 +4y      ⇔   {x=24 +4y
{16 + y = 3y                 ⇔   {2y =  16          ⇔   {y= 8 
Метод подстановки :
х =  24 +  4*8 
х = 56  (шт.)  вязанных вещей на витрине.


1)  16 :  2 =  8  (шт.) шарфов 
2) Пусть свитеров    шапок  х  штук ,  тогда  свитеров  3х штук . 
Зная, что жилетов  16  штук ,  а  количество  жилетов и шапок  вместе совпадает с количеством свитеров, составим уравнение:
16 + х = 3х
16 = 3х - х
2х =16
х = 8  (шт.) шапок 
3)  3 * 8 = 24 (шт.)  свитеров 
4) 16 + 8 + 24 + 8 = 56 (шт)   всего

ответ:  56 штук вязанных вещей на витрине трикотажного отдела.

Дано:
установка=3300 рублей
оплата до установки=800 рублей/месяц
оплата после установки=400 рублей/месяц
Найти: Через сколько месяцев окупятся затраты на установку=?
Решение
1) Ежемесячная экономия после установки счётчиков составит:
800-400=400 (рублей)
2) Распределим затраты на установку счётчика 3300 рублей по месяцам и посмотрим за сколько месяцев она окупится (400 сэкономленных рублей в месяц уйдут на покрытие затрат, связанных с установкой):
3300: 400=8,25≈9 (месяцев)
ответ: экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменится, через 9 месяцев.

За 8 месяцев покроется 8*400=3200 рублей+100 рублей в 9-ом месяце.