Сергей работает в офисе, расположенном на этаже старого здания. Однаждыначальник попросил Сергея поднять в офис с первого этажа 18 коробок офисной бумаги, которую привезли из магазина. В каждой коробке 5 пачек, по 500 листов бумаги формата А4в каждой пачке. Листы бумаги формата А4 имеют размер 210 мм x 297 мм, а 1 м бумагивесит 120 г. Грузоподъёмность лифта 350 кг. Сергей весит ровно 70 кг. Сможет ли Сергейподняться в лифте со всеми коробками за один раз (перегрузка лифта запрещена)?​

Представим нечётное n (n=3,5,7,...) через чётное k: n=k+1.

Тогда (4n +1) ² – (n + 4) ² = (4(k+1) +1) ² – ((k+1) + 4) ² = (4k+4 +1) ² – (k+1 + 4) ² =(4k +5) ² – (k + 5) ² = 16k²+40k+25-k²-10k-25=15k²+30k= 15k(k+2).

Если полученное выражение 15k(k+2) кратно 120, то k(k+2) кратно 8.

Поскольку k=2,4,6,..., то m=k/2=1,2,3,..., в таком случае, k=2m и 2m(2m+2) кратно 8, тогда 4m(m+1) кратно 8, откуда следует, что m(m+1) кратно 2. Поскольку произведение m(m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.

Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.

Переписываем уравнение в виде y'+y/x-4=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y(x)=u(x)*v(x), или y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v', и уравнение приобретает вид u'*v+u*v'+u*v/x-4=0, или v*(u'+u/x)+u*v'-4=0. Так как одной из функций u или v можно распорядиться по произволу, то поступим так с функцией u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'+u/x=0. Отсюда u'=du/dx=-u/x, du/u=-dx/x, ln/u/=-ln/x/, u=-x. Тогда -x*v'-4=0, или v'=-4/x, или dv/dx=-4/x, или dv=-4*dx/x. Отсюда v=-4*ln/x/+4*ln/C/=4*ln/C/x/=ln(C⁴/x⁴) и y=u*v=-x*ln(C⁴/x⁴).