На доске написано 23 различных числа. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 23 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?

А) 7 и 16 не делятся на 5 и 10, значит и их произведение тоже.
б) 11 и 25 не делятся на 2 и 10, значит и их произведение тоже.
в) 10 делится на 2, 5 и 10, значит и 13*10 тоже делится.
г) 13 и 15 не делятся на 2 и 10, значит и их произведение тоже.
д) 20 делится на 2,5 и 10, значит и 7*20*3 тоже делится.
е) 19, 11 и 13 не делятся на 2, 5 и 10, значит и их произведение тоже.
ж) 2*5 делится на 2, 5 и 10, значит и 2*5*23 тоже делится.
з) 21,3 и 6 не делятся на 5 и 10, значит и их произведение тоже.

ответ: В, Д, Ж.

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две не смежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника). 
У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали. 
Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле: N = n·(n – 3)/2, где n — число вершин многоугольника.
По этой формуле нетрудно найти, что:у треугольника — 0 диагоналей у прямоугольника — 2 диагоналиу пятиугольника — 5 диагоналейу шестиугольника — 9 диагоналейу восьмиугольника — 20 диагоналейу 12-угольника — 54 диагоналиу 24-угольника — 252 диагонали