По аллее парка двое ребят катят обручи. Один обруч сделал 90 оборотов, а другого − 60 оборотов. Найти длину аллеи, если известно, что длина окружно-сти второго обруча на 1 м больше длины окружности первого.​

Пусть длина окружности первого обруча x метров, тогда длина окружности второго - x + 1 метров, а длина аллеи пусть равна s. Тогда:

s = 90x = 60x + 60

30x = 60

x = 2

s = 90 * 2 = 180

ответ: длина аллеи 180 метров.

1)  Пусть х - наибольшее двузначное натуральное число, которое при делении как на 6, так и на 8 дает в остатке 15.

Тогда число х можно представить так:

   х=6n+15

   х=8m+15

Приравняем правые части и получим:

6n+15=8m+15

3n=4m

Так как n и m - натуральные числа, то возможные значения числа m это числа, кратные 3, точнее 3; 6; 9; 12;...

1) Пусть m=3, тогда  

x= 8*3+15=24+15=39 - двузначное

2) Пусть m=6, тогда  

x= 8*6+15=48+15=63 - двузначное

3)  Пусть m=9, тогда  

x= 8*9+15=72+15=87 - двузначное

4)  Пусть m=12, тогда  

x= 8*12+15=96+15=111 - трехзначное

Получается, что 87 - наибольшее двузначное натуральное число, которое при делении как на 6, так и на 8 дает в остатке 15.2) 100

2) 100 - наименьшее трехзначное натуральное число.

3) 100 - 87 = 13

На 13 число 87 меньше числа 100.

ответ: 13.

Sin3x + sin7x =2sin5x    Отрезок:[0; π]
Воспользуемся формулой суммы синусов и перейдем в левой части к произведению:
2sin5x*cos2x = 2sin5x
Или, разложив на множители:
sin5x(cos2x - 1) = 0
Получим две группы решений:
sin5x = 0                         cos2x = 1
5x=πk                             2x = 2πn,           k,n ∈ Z
x = πk/5                          x = πn
Эти решения можно объединить в одно:
x = πk/5 , так как решения x = πn находятся внутри области решений x = πk/5
Теперь подсчитаем корни, принадлежащие заданному промежутку:
0 ≤ πk/5 ≤ π
Сократив на π и умножив на 5, получим:
0 ≤ k ≤ 5
На отрезке от 0 до 5 находится ровно 6 целых чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
ответ: 6