Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; –2) и N (2; 2; 2), и плоскостью УOZ

Дано:

- точки, принадлежащие плоскости П: О(0; 0; 0), М(0; 2; –2), N(2; 2; 2),  

- плоскость yOz.

Находим векторы:

ОМ = (0; 2; –2), ОN (2; 2; 2).

Нормальный вектор n плоскости П равен векторному произведение векторов ОМ и ОN.

i           j            k|            i             j

0         2           -2|           0|           2

2         2            2|           2            2  =  4i - 4j + 0k - 0j + 4i - 4k = 8i - 4j - 4k.

                                                        n = (8; -4; -4).

У координатной плоскости yOz нормальным вектором является координатный вектор k=(1; 0; 0).

Находим косинус угла α между нормальными векторами плоскостей П и плоскостью yOz это и будет угол между заданными плоскостями.  

Сначала надо определить модули векторов:

|n| = √(8² + (-4)² + (-4)²) = √(64 + 16 +16) = √96 = 4√6.

|k| = 1.

cos α = (8*1 + -4*0 + -4*0)/(4√6*1) = 8/4√6 = 2/√6 = √(2/3).

α = arc cos(√(2/3)) = 0,61548 радиан или 35,26439 градуса.