1/1 * 2 + 1/2 * 3 + 1/3 * 4 + ... + 1/2013 * 2014=

3          1        5       7     9           1    2          1      11          3     1         5    
_    и    _     ; _  и   _ ;   _   и      _ ;  _  и      _   ;   _   и     _  ;  _  и    _   ;  
4   ₍₁₂₎   6       6  ₍₂₄₎ 8    10  ₍₂₀₎   4   15  ₍₃₀₎   6      12   ₍₂₄₎  8    16 ₍₄₈₎ 12    
 
13        1     5         15   
 _    и   _  ;  _   и     _  
18 ₍₉₀⁾  10   24  ₍₄₈₎ 16  . И на будущее, чтобы подобрать нужный знаменатель оба числа двухзначные, нужно меньшее из этих чисел умножать по нарастающей. Например: 1/16 + 5/12. 12 умножаем на 2, на 3, на 4 и т.д. пока не найдём число, которое делится и на 12 и на 16. Вот такая не хитрая система подбора знаменателя.