Все простые числа от 2 до 19 включительно записали в произвольном порядке и получили 12-значное число M. Докажите, что это число M делится на 3 и не делится на 9.

Пошаговое объяснение:

Искомое число не должно содержать 0, но должно делиться на 25 ,

Пусть x - число сотен, у - число десятков, а z - число единиц в искомом числе.  

Получим уравнение:

100*x+10*y+z=25*(x+y+z)

100х+10у+z=25x+25y+25z

75x=15y+24z

х=(15y+24z)/75

х=3(5y+8z)/75

х=(5y+8z)/25

Сумма (5у+8z) должна делиться на 25 ,

по условию х>0,у>0,z>0, при этом у≤ 9, z≤9, значит

5у+8z<5*9+8*9

5y+8z<117,

а если число меньше 117 и делится на 25, то это число равно 75,  

75:25=3

х=3

5у+8z=75

5y=75-8z

у=(75-8z)/5

Получаем что z может быть  1,2,3,4,5,6,7,8 но не забываем, что у-целое число., а значит выражение (75-8z) должно делиться на 5. Под это условие подходит z =5, тогда  

у=(75-8*5)/5=7

Искомое число будет 375

Петя говорил, что знает 3-х значное число, которое в 25 раз больше суммы своих цифр и не содержит 0. Число 375 соответствует этим условиям.

Вася говорил, что знает 3-х значное число которое в 25 раз больше суммы своих цифр и не содержит в своей записи одинаковых цифр.

Число 375 - соответствует этим условиям.

Оба были правы.