Из вершины Д квадрата АВСД проведён к его плоскости перпендикуляр дк=2корня из трех см. Сторона квадрата 2см. Докажите, что треугольник АВК прямоугольный. Найдите площадь треугольника АВК

Чтобы доказать, что треугольник АВК прямоугольный, нам нужно использовать свойство перпендикуляра.

Шаг 1: Найдем координаты вершин квадрата АВСД.
Пусть координаты вершины А будут (0,0), вершины В – (2,0), вершины С – (2,2) и вершины Д – (0,2).

Шаг 2: Найдем координаты точки К.
У нас дано, что перпендикуляр ДК имеет длину 2√3 см. Так как D находится в точке (0,2), то точка К будет находиться на расстоянии 2√3 вниз от точки Д. Значит, координаты точки К будут (0,2-2√3).

Шаг 3: Найдем длины сторон треугольника АВК.
Длина стороны АВ равна расстоянию между точками А и В:
AB = √((2-0)² + (0-0)²) = √(4 + 0) = √4 = 2 см.

Длина стороны АК равна расстоянию между точками А и К:
AK = √((0-0)² + (2-2√3)²) = √(0 + (2-2√3)²) = √(2-4√3+12) = √(14-4√3) см.

Длина стороны ВК равна расстоянию между точками В и К:
BK = √((2-0)² + (0-2√3)²) = √(4 + (0-2√3)²) = √(4 + (0-4√3)²) = √(4+16∙3) = √(52) = 2√13 см.

Шаг 4: Докажем, что треугольник АВК прямоугольный, используя теорему Пифагора.
Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный.

AB² + AK² = BK²
(2)² + (√(14-4√3))² = (2√13)²
4 + (14-4√3) = 52
18 - 4√3 = 52
-4√3 = 34
√3 = -34/4
√3 = -17/2

Получили противоречие, так как корень из трех не может быть отрицательным. Наше предположение о том, что треугольник АВК прямоугольный, неверно.

Шаг 5: Найдем площадь треугольника АВК, используя формулу Герона.
Пусть а, b и с – длины сторон треугольника АВК.

Полупериметр треугольника p = (AB + AK + BK) / 2
p = (2 + √(14-4√3) + 2√13) / 2
p = (2 + √(18-4√3+52)) / 2
p = (2 + √(70-4√3)) / 2
p = 1 + √(70 - 4√3)

Площадь треугольника АВК S = √(p(p-AB)(p-AK)(p-BK))
S = √((1 + √(70 - 4√3))(1 + √(70-4√3) - 2)(1 + √(70-4√3) - √(14-4√3))(1 + √(70-4√3) - 2√13))

Так как значения √3 было получено некорректным образом, площадь треугольника АВК невозможно вычислить.

Окончательный ответ:
Мы доказали, что треугольник АВК не является прямоугольным и не смогли вычислить его площадь, так как значения, использованные в расчетах, были неверными.