Каждый из 7 гномов подарил белоснежки ягоды. Первый подарил белоснежке 7 ягод. Каждый следующий гном если он был в шапочке дарил Белоснежке на 1 ягоду больше предыдущего если же гном был без шапочки то он на 1 ягоду меньше предыдущего. Белоснежка получила 68 ягод. Сколько гномов было без шапочки если первый был в шапочке​

1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6)

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
.
Подставим координаты известных точек:


Приводим к общему знаменателю и получаем систему:
{16b² - 36a² = a²b²,
{36b² - 96a² = a²b².
Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a² 
               60a² = 20b²
                    b² = 3a².
Заменим b² в уравнении гиперболы:


a² = 4,
b² = 3*4 = 12.

ответ: 

2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.

a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы.
Они уже найдены: a² = 4, а = +-2
b² = 3*4. b = +-2√3.
c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4.
Координаты фокусов:
F₁(-4;0), F₂(4;0).
Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.
Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2
Асимптоты y = +-(b / a).
y₁ = (2√3) / 2 = √3
y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.

3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности.

ответ: х = +-√7
            у = +-3.

4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).