Найти тангенс угла касательной, проходящей через точку a(1; 3) к графику функции: y=x^2+2x^3

ответ:

8

пошаговое объяснение: тангенс равен значению производной в данной точке.

производная : 2*х+6*х*х.     тангенс : 2+6=8

сначала есть 20 ключей, из которых 19 не открывает замок. вероятность, что первый ключ не откроет замок, равна 19/20.

затем остается 19 ключей и 18 неподходящих. вероятность, что оба выбранных ключа не подойдут, равна 19/20 * 18/19 = 18/20.

на третьем шаге тоже должно не повезти, это уменьшает вероятность до 18/20 * 17/18 = 17/20.

аналогично, вероятность того, что первые 9 ключей не подходят к замку, равна 11/20. после этого останется 11 ключей, из которых один подходит к замку. вероятность его вытащить 1/11 → ответ 11/20 * 1/11 = 1/20.

ответ интуитивно понятный (хоть интуиция в теории вероятности не всегда ), и ответ можно было бы написать сразу: предположим, ключи лежат в ряд, и экспериментатор пробует эти ключи по очереди. очевидно, что вероятность того, что нужно перепробовать половину ключей, равна вероятности того, что ключ лежит на 10 месте. все места равноправны, их всего 20, так что вероятность 1/20.

z(x, y) = xy(12 – x – y) = 12xy – x2y – xy2,  

∂z/∂x = 12y – 2xy – y2 = y(12 – 2x – y),  

∂z/∂y = 12x – x2 – 2xy = x(12 – x – 2y),

∂z/∂x = y(12 – 2x – y) = 0, ∂z/∂y = x(12 – x – 2y) = 0 при x1 = 0, y1 = 0, x2 = 4, y2 = 4,

то m1(0; 0), m2(4; 4) – стационарные точки. в этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.

поскольку

∂2z/∂x2 = -2y,

∂2z/∂y2 = -2x,

∂2z/(∂x∂y) = 12 – 2x – 2y,

и в точке m1(0; 0)

a = ∂2z(0; 0)/∂x2 = -2 ∙ 0 = 0,

b = ∂2z(0; 0)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 = 12,

c = ∂2z(0; 0)/∂y2 = -2 ∙ 0 = 0,

∆ = ac – b2 = 0 – (12)2 = -144 < 0, то точка m1 не является точкой экстремума.

поскольку

в точке m2(4; 4)

a = ∂2z(4; 4)/∂x2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

b = ∂2z(4; 4)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 4 – 2 ∙ 4 = -4,

c = ∂2z(4; 4)/∂y2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,

∆ = ac – b2 = (-8) ∙ (-8) – (-4)2 = 64 – 16 = 48 > 0, то точка m2 является точкой локального максимума. значение функции в этой точке равно

z(4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 – 4 – 4) = 16 ∙ 4 = 64.