Уверен, что каждое его слово должны, не могут не слушать . Грамматическая основа!

ответ: должны—сказуемое, не могут, не слушать—сказуемое

Объяснение:это неопределенно-личное предложение, односоставное

[Улжан тоже знал много рассказов], но [больше всего он любил], когда (мать читала ему стихи). (повеств,невоскл. грамм.основы:
1)Улжан знал
2)он любил
3) мать читала
1 и 2 (главные) соединены сочинительным союзом НО (противительн.), 2 и 3 (третья часть - придаточная, которая относится ко второму главному предложению) соединены подчинительным союзом КОГДА. вид придаточного - изъяснительн. ( он любил ЧТО? когда мать читала ему стихи)
Разбираем каждую часть отдельно:
Улжан тоже знала много рассказов (двусоставное, распространенное, полное, неосложненное) много рассказов - дополнение. Сказуемое простое глагольное
больше всего он любил - то же самое. больше всего - обстоятельство. Сказуемое - простое глагольное
мать читала ему стихи. - то же самое. ему , стихи - дополнения. Сказуемое - простое глагольное

[Вместе с внешностью резко изменился и характер Абая]. (повеств., невоскл, простое (основа: характер изменился), двусоставное, распр., полное, неосложненное. 

[Он избегал сверстников и нашел себе других друзей], [лучшим его другом стала бабушка], [после неё - мать].
(повест, невоскл, 
1) он избегал и нашел
2) бабушка - подлежащее, стала другом - сказуемое составное именное (именная часть выражена существительным)
3) мать - подлежащее, сказуемое опущено (это неполное предложение).
Итак, состоит из трёх простых предложений (перечисление фактов)

Он избегал сверстников и нашел себе других друзей (двусоставное, распр., полное, осложнено однородными сказуемыми, сказуемые - простые глагольные)

лучшим его другом стала бабушка (двусоставное, распр., полное, неосложненное, сказуемое составное именное (выше писала это)).
после неё - мать. (двусоставное, распростр., неполное (опущено составное именное сказуемое СТАЛА ДРУГОМ) , не осложнено.

Второстепенные члены где-то расписала , где-то нет. Самое главное - подчеркнуть их в предложении.

«Маленькой трилогией» назвал Чехов рассказы «Человек в футляре», «Крыжовник», «О любви», но с этими произведениями непосредственно связано и повествование о докторе Старцеве-Ионыче (время написания всех рассказов: май - июль 1898 года).Рассказы имеют много общего, как в содержании, так и в повествовательной структуре.Во-первых, персонажи рассказов (первых трех) выполнены в манере внешне пародийной, с внутренней трагической интонацией. Чехов отчасти будто возвратился к стилистике Антоши Чехонте, сводя образ персонажа к одной (двум-трем) чертам. Отсюда и основной принцип построения рассказов - параллельные конструкции, повторяющиеся темы, детали, фразы.Во-вторых, в рассказах изображены невероятные, почти фантастические (если попытаться вообразить их в жизни) существа: доктор Старцев, учитель гимназии Беликов, служащий казенной палаты, потом помещик Николай Иваныч.В-третьих, повествование в рассказах распадается на сцены и открыто декларативные высказывания.Посмотрим на «Ионыча» и «футлярную» трилогию Чехова, имея в виду эти аспекты, вычленяя несколько позиций, имеющих конкретное текстуальное оформление.