Объясните постановку запятых а они, гладкие и белые, снизу совсем лишенные веток, взбегают, обновленные, кверху.

Если я не ошибаюсь, это обороты. "взбегают" - деепричастный

• Ласково смотрит доброе (им.п., ое) солнце . Свежий ( им.п., ий) ветерок гонит легкие( ие, вин.п. ) облака. В лесной ( ой, предл. падеж лазури поет звонкую( ую, вин, п) песню жаворонок. Пестрый (ый, им. п.) дятел стучит по коре белой (род. п., ой) березы. В глубоком (п. п., ом овраге звучит говорливый (ый, им.п. ) ручей.Легко дышать чистым ( ым, тв.п.) утренним(им, тв.п.) воздухом. Волнистой линией подчеркнем слова : доброе, свежий, легкие, лесной, звонкую, пестрый, белой, глубоком, говорливый, чистым, утренним.

Что такое взаимопонимание? Само слово объясняет свое значение-взаимное понимание: то есть ты понимаешь собеседника, а он тебя. 
В данном отрывке текста речь идет о взаимопонимании между бабушкой и внучкой. Внучка-подросток  страдает по поводу своей внешности, бабушка же, умудренная жизненным опытом женщина, считает , что  "всё в жизни зависит от самого человека: нужно только "учиться, трудиться и хорошо относиться к людям". 
Во-первых,у внучки  бабушка с детства хорошее взаимопонимание, но в подростковом возрасте начались расхождения во взглядах на жизнь. Бабушка считает, что нет некрасивых людей, а девочка комплексует по поводу своей внешности. 
Во-вторых, бабушка призывает терпеливо ждать, когда она из "гадкого утенка" превратится в прекрасную девушку. о девочке, как и всем подросткам, не хочется ждать, ей нужно быть красивой прямо сейчас! 
Таким образом взаимопонимание между бабушкой и внучкой нарушилось после того, как у девочки стали возникать личностные проблемы, она комплексует по поводу своей внешности, а бабушкины советы воспринимает ни как раньше, в детстве.