Проектор полностью освещает экран a высотой 80 см, расположенный на расстоянии 120 см от проектора. на каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран b высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Можно составить пропорцию

ответ: 645 см

Вариант для любителей тригонометрии

Объяснение:

Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника

АВ = "с", ВС = "а".

Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А. Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:

x = c*cosa.    y = a*cos2a.

c = h/sina.     a = h/sin2a.   cos2a = h/а.    =>

x = h*cosa/sina.   y = h*cos2a/sin2a.

x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).

Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)

Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда

cosa/sina - cos2a/sin2a =

(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a).  =>

sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).

(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =

(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a.  =>

x - y = h/cos2a.  cos2a = h/а.  =>

x - y = h/(h/а) = а.

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Средние линии треугольника - отрезки, соединяющие середины его сторон. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному, поэтому отношение  сторон обоих треугольников одинаково. Если стороны исходного треугольника а, b, c, то средние линии  равны 0,5а, 0,5b и 0,5 с.

Соответственно,  0,5а:0,5b:0,5 с= а:b:с.

НО!

Треугольник с отношением сторон 2:2:4 не существует.  По теореме . о неравенстве треугольника любая его сторона меньше суммы двух других. По данному отношению 4=2+2  все вершины лежат на одной прямой.  (Треугольник, у которого все три вершины лежат на одной прямой, называется вырожденным - см. рисунок во вложении. ).

                             *     *     *

  В сети встречается  (и не раз!) задача, к которой дается решение без указания на неравенство треугольника, с таким условием:

Средние линии треугольника относятся как 2:2:4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.   Ход решения верный,  в ответе: а = b  = 11,25; c = 22,5 см.

Получается, что с=а+b.  Возможно, условие специально составлено так, чтобы решающий нашел  в нем указанную выше ошибку.