Представьте в виде произведения тригонометрических функций: sin^2 x-sin^2 y

Методы решения тригонометрических уравнений . решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов : преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения . существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений . 1. метод. этот метод нам хорошо известен из ( метод замены переменной и подстановки ). 2. разложение на множители. этот метод рассмотрим на примерах . п р и м е р 1. решить уравнение: sin x + cos x = 1 . р е ш е н и е . перенесём все члены уравнения влево : sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения : п р и м е р 2. решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , sin x · cos x – sin 2 x = 0 , sin x · ( cos x – sin x ) = 0 , п р и м е р 3. решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x , 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 , cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 , 3. к однородному уравнению . уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. чтобы решить однородное уравнение , надо: а) перенести все его члены в левую часть ; б) вынести все общие множители за скобки ; в) приравнять все множители и скобки нулю ; г) скобки, приравненные нулю , однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное уравнение относительно tan . п р и м е р . решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения : y1 = -1, y2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, 4. переход к половинному углу . рассмотрим этот метод на примере : п р и м е р . решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) , 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 , tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 , .5. введение угла . рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c , где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное. теперь коэффициенты уравнения свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый угол ), и наше уравнение принимает вид: 6. преобразование произведения в сумму . здесь используются соответствующие формулы. п р и м е р . решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. р е ш е н и е . преобразуем левую часть в сумму : cos 4x – cos 8x = cos 4x , cos 8x = 0 , 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8 . 7. универсальная подстановка. рассмотрим этот метод на примере . п р и м е р . решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 . таким образом, решение даёт только первый случай.

Sin3x = 3sinx - 4sin³x => 3sinx - 4sin³x = cos(x) поделим на cos(x), не равный 0, т. к. при cos(x) = 0 уравнение решений не имеет (3-4< > 0): 3tg(x) - 4sin^2(x)*tg(x) = 1 sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому sin^2(x) = 1 - cos^2(x). - 4sin^2(x) = 4cos^2(x)-4. 3tg(x)  + (4cos^2(x)-4)*tg(x) = 1 3tg(x)  + 4cos^2(x)*tg(x)-4*tg(x) = 1 обозначение: m = tg(x). 3m  + 4cos^2(x)*m-4m = 1 4cos^2(x)*m - m = 1 4m/(1+m*m) - m - 1 = 0 (4m - (m+1)(1+m*m))/(1+m*m) = 0 4m - (m+1)(1+m*m) = 0 4m - (m + mmm + 1 + mm) = 0 (m + mmm + 1 + mm) - 4m = 0 mmm + mm - 3m + 1= 0 по теореме безу, при m = 1 этот многочлен делится на m - 1 без остачи. теперь этот многочлен можно разложить на множители: (mm+2m-1)(m-1) = 0. решая это уравнение методом интервалов, найдем, что: m = 1, m = +- sqrt(2). вернемся к x: tg(x) = 1 => x = p/4 + pn, tg(x) = -1 +- sqrt(2) => x = arctg(-1 +- sqrt(2)) + pn. ответ: x e {p/4 + pn; arctg(-1 + sqrt(2)) + pn; arctg(-1 - sqrt(2)) + pn}.

всего 12 карандашей. из них можно создать с³₁₂=12! /3! *9! =12*11*10/6=

=220

аналогично для синих 5! \3! *2! =10

                      для красных 4! /3! 1! =4

                      для зеленых   =1

p=(10+4+1)/220=15/220=3/44 

все разных цветов 

p=(5*4*3)/220=6/22=3/11

2 синих и 1 зеленый

5! /2! *3! =10   3! /1! 2! =3

10*3/220=3/22

ответ а) 3/44

            б) 3/11

            в) 3/22

подробнее - на -