Решите докажите что не существует натурального числа которое от представки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5раз

Ну, во-первых, сообразим за составителя , что ноль в конце второго числа (и, значит,  в начале первого) стоять не может, т.к. тогда решение тривиально, и условию соответствует, например,  "двузначное" число 00: оно при умножении на 5 дает 00, который вполне можно получить, переставив первый ноль с последнего на первое место) . а это противоречит нашей доказать невозможность числа, соответствующего условию ! ) так что составителю сохранить умное и введем запрет на 0 в начале первого числа   . второй пункт: начнем анализ ситуации: если какое-то число упятеряется, то   цифра в разряде единиц второго, поученного после упятерения, числа,   зависит от того, какая была цифра в разряде единиц в первом числе: если первое число в единицах имело 1, то в втором числе там будет 5 теперь давайте  составим табличку: первый столбец - единицы первого числа, второй столбец - единицы второго числа, полученного умножением первого на 5 1 - - 5 2 - - 0 3 - - 5 4 - - 0 5 - - 5 6 - - 0 7 - - 5 8 - - 0 9 - - 5 выкидываем варианты. когда в единицах первого числа четные цифры. причина изложена в первом абзаце. остается 1 - - 5 3 - - 5 5 - - 5 7 - - 5 9 - - 5 по условию, цифры, стоящие во втором столбце, должны стоять в старшем разряде первого числа. то есть первой цифрой первого числа должна быть 5. что бы ни было после этой пятерки уже ясно, что второе число при этом получится более длинным, чем первое: ведь сколько бы разрядов не было в первом числе, при умножении 5 на 5 в результате получится число, не менее чем на один разряд более длинное: 5*5 = 25 (однозначное дает двузначное) 50*5 = 250 (двузначное дает трехзначное) по условию второе число получается путем перестановки цифр первого, без добавления новых. а раз так, то нет " натурального числа, которое от представки первой цифры в конец числа, увеличилось бы в 5раз"

  (3x-2)(x-4)(3-2x)< 0 -(3x-2)(x-4)(2x-3)< 0   (3x-2)(x-4)(2x-3)> 0   3(x-  ²/₃)(x-4)*2(x-1.5)> 0   (x-  ²/₃)(x-4)(x-1.5)> 0   x=  ²/₃     x=4       x=1.5     -                   +                       -                     +   ²/₃ 1.5 4                 \\\\\\\\\\\\\\\\                               \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x=0       -   -   - | - x=1       +   -     - | + x=2       +   -   +| - x=5       +   +   +| +  x∈(²/₃; 1.5)u(4; +∞)

Рассмотрим функцию у = х3 + х2 - 8х.
Найдем точки экстремума функции, т.е. точки, в которых y’ = 0:
y’ = (х3 + х2 - 8х)’ = 3х2 + 2х - 8,
3х2 + 2х – 8 = 0;
D = 4 + 4 * 8 * 3 = 100,
х1 = (-2 + 10) / 6 = 8/6 = 4/3,
х2 = (-2 - 10) / 6 = -12/6 = -2.
Точки экстремума: -2 и 4/3.
Рассмотрим промежутки убывания / возрастания функции.
При х < -2, y’ > 0, функция возрастает.
При -2 < х < 4/3, y’ < 0, функция убывает.
При х > 4/3, y’ > 0, функция возрастает.
Таким образом, функция возрастает на промежутке: (-∞; -2] и [4/3; +∞).
ответ: (-∞; -2] и [4/3; +∞).