Докажите тождество sin 2x cos 2x=1/2sin 4x

Левая часть умножим на 2 и разделим на 2 1/2*2*sin2x*cos2x=1/2*cos(2*2x)=1/2*cos(4x) справа то же самое, вот и все доказательство. просто не хватало двойки для синуса двойного угла, если ее пририсовать и тут же 2, что то же самое), все и получаетсяразделить на 2(или умножить на 1/2, что то же самое), то все красиво получается

Пусть b1, - члены прогрессии, а q - её знаменатель. сумма прогрессии s=b1/(1-q). по условию, b1/(1-q)=6. одновременно по условию s1=b1²+b2²++bn²+=12. но s=b1*(1+q+q²+q³ а s1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+ получена система уравнений: b1*(1+q+q²+q³=6 b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+=12 возведём первое уравнение в квадрат: b1²*(1+q+q²+q³²=36 b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+=12 разделив теперь первое уравнение на второе, придём к уравнению относительно q: (1+q+q²+q³+²/(1+q²+q⁴+q⁶+=3. но в скобках числителя  - бесконечная прогрессия со знаменателем q, её сумма s2=1/(1-q). в скобках знаменателя - бесконечная прогрессия со знаменателем q², её сумма s3=1/(1-q²). отсюда следует уравнение (1-q²)/(1-q)²=3, которое приводится к квадратному уравнению 2*q²-3*q+1=0. решая его, находим q1=1 и q2=1/2. но при q=1 сумма прогрессии была бы равна бесконечности, поэтому q=1/2. ответ: 1/2.  

из условия ясно, что правдивые гномы могут любить только сливочное мороженое, а лживые — только шоколадное или фруктовое. именно поэтому все гномы сказали, что любят сливочное.

правдивый — любит только сливочное, признает это, а про остальные сорта говорит, что не любит. лживый гном, который любит шоколадное мороженое, скажет «нет» в ответ на второй вопрос, и «да» — в ответ на третий. если же лживый гном любит фруктовое, то он ответит «да» на вопрос про шоколадное, и «нет» — про фруктовое.

мы видим, что в любви к фруктовому мог признаться только лжец, который любит шоколадное мороженое. причем такой среди гномов — всего один. а из второго столбца мы видим, что отрицают любовь к шоколадному мороженому все правдивые гномы и лжецы, которые любят шоколад. но таких лжецов, как мы уже узнали, всего один. поэтому на второй вопрос ответили «нет» все правдивые гномы и один лжец. то есть правдивых гномов — половина минус один.