Раскройте скопки (5a-2b) во второй степени

(5а-2в)^2= 5а^2-2*5а*2в+2в^2= 5а^2-20ав+2в^2

5а в квадрате -2*5а*2b+2b в квадрате

по свойству арифметической прогрессии:

у нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем  и :

 

выражаем ихз первого   и получаем:

 

подставляем во второе и получаем:

 

подставляем d в выражение для   и получаем:

 

теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

 

теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:

 

получилась функция, которая зависит от n.

нужно найти ее максимум:

поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.

найдем производную по n от этой функции:

получим:

 

теперь надо найти где она равно 0.

решаем уравнение:     получаем:  

теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29.

для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29 

 

 

как мы видим s(29)> s(28),

значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653

 

ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29

добавим к обоим частям уравнений +1 +4 +9 и перегруппируем так, чтобы видеть квадраты двучленов

теперь выделяем квадраты

так как l, m, n целые числа, то целыми будут числа l-1,m+2,n-3  и их квадраты, при этом квадраты равны либо 0 либо 1 (квадраты целых чисел либо 0 либо натуральное число) потому что если хотя бы один из квадратов равен 4=2^2 или больше то л.ч.уравнения больше за правую и искомых троек чисел не существует

 

но так как из всех возможных 8 сумм из 0 и 1, только 1+1+1=3

то

откуда l-1=1 или l-1=-1

m+2=1 или m+2=-1

n-3=1 или n-3=-1

 

значит l=2 или l=0,  m=-1 или m=-3, n=4 или n=2

итого восемь пар решений (l; m; n)

(2; -1; 4)

(2; -1; 2)

(0; -1-; 4)

(0; -1; 2)

(2; -3; 4)

(2; -3; 2)

(0; -3; 4)

(0; -3; 2)

 

вторая

обозначим учеников через 1,, а кружки через а,б,в,г,д

не ограничивая общности если 1й ходит только в кружок а, то остальные в кружок а ходить не могут, иначе сразу противоречие (если например второй ходит в кружок а и другой кружок, например б, то он ходит во все кружки в которые ходит 1, что невозможно)

  т.е. ученики ходят минимум в 2 кружка (могут и в большее).

 

никто из не может ходить сразу во все пять кружков, иначе он будет ходить во все кружки которые ходит любой другой из

 

далее если например 1й ученик ходит в 4 кружка (например а,б,в,г), то 

никто не может ходить в комбинацию двух или трех кружков из кружков а,б,в, г так как 1й будет ходить во все кружки что и второй

остаются возможными варианты б,е или в,е, или г,е или а,е или а,б,е, или б, в, е, или в,г, е, или а,г,е или б, в, г, е или а, б, в, е, или а,г, в,  е или а, б, г, е

если 2й ходит в 2 кружка из оставшихся например б,е , то исключая противоречивые согласно условию остаются возможными 6 вариантов  или в,е, или г,е или а,е или в,г, е, или а,г,е или а,г, в,  е (среди которых есть противоречивые например в,е и а,г, в, е) и вариантов получается меньше чем 6, и для какогото из учеников не остается варианта выбора

 

если 2й ходит в 3 кружка, например а,б,е, то исключая остаются возможности для других учеников или в,е, или г,е или в,г, е, или а,г,е или б, в, г, е или а,г, в,  е - 6 возможностей , среди которых есть противоречивые (например г,е и а,г, в, е) и возможностей получается меньше чем оставшихся учеников.

 

если 2й ходит в 4 кружка например  б, в, г, е, то исключая согласно условию остаются возможности или а,б,е или а,г,е или а, б, в, е, или а,г, в,  е или а, б, г, е - 5 возможностей - меньше чем оставшихся учеников. следовательно и такой вариант событий не подходит.

 

таким образом получаем что не один ученик не может ходить в четыре кружка.

 

обьединяя получаем искомое, что согласно правилам и условию каждый школьник занимается в 2х или 3х кружках.

такое возможно

например

1 - а,б, 2 - б,в, 3 - в,г, 4 - г,д, 5 -д,е 6 - а,е, 7 - б,е 8 - г,е