Вычислите: а) cos 60°+ 2 sin 30°+ tg² 60°- ctg 45°; б) 3 cos 180°+ 5 ctg 270° - 2 tg 0°- sin 60°.

А)cos 60° + 2sin 30° + 1/2tg²60° - ctg 45° = 1/2 + 2 * 1/2 + 1/(2*(√3)² - 1 = 1/2 + 1 + 1/6 - 1 = 1/2 + 1/6 = 2/3 б)3cos 180° + 5ctg 270° - 2tg 0 - sin 60° = 3 * (-1) + 5 * ctg(360° - 90°) - 2 * 0 - √3/2 =   = 2 * ctg(-90°) - 0 - √3/2 = -2ctg 90° - √3/2 = -2 * 0 - √3/2 = -√3/2

ответ: (5π/6)+π+2πn; (7π/6)+2πm, n, m ∈z

объяснение:

pi/6+2pim не может быть , так как cos < 0 только в 2 и в 3 части.

одз:

{–5cosx ≥ 0

{cosx ≠ 0 ( область определения тангенса)

произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

3tg2x–1=0 ⇒ tgx=–1/√3 или tgx=1/√3 ⇒

x=(–π/6)+πk, k ∈ z или х=(π/6)+πs, s ∈ z

с учетом одз

х=(–π/6)+π+2πn, n ∈ z (k=2n+1) или х=(π/6)+(π)+2πm, m ∈z (s=2m+1)

√–5cosx=0 не может, противоречит второму условию одз

объяснение:

1) f(x) = √(4 - 5*x),   xo = 0

y = f'(xo)*(x - xo) + f(xo) - формула касательной.

находим первую производную - k - наклон касательной.

f'(xo) = f'(0) = - 5/4 = k

f(0) = 2

y = - 5/4*x + 2 - касательная - ответ.

2)

дано: y(x) = x³ -3*x² + 2

исследование.

1. область определения d(y) ∈ r,   х∈(-∞; +∞) - непрерывная , гладкая.

2. вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. пересечение с осью oх.  

применим теорему безу. х₁ *х₂ *х₃ = 2

применим тригонометрическую формулу виета.

разложим многочлен на множители. y=(x+0,73)*(x-1)*(x-2,73)

нули функции: х₁ =-0,73, х₂ =1,   х₃ =2,73

6. интервалы знакопостоянства.

отрицательная - y(x)< 0 x∈(-∞; -0,73]u[1; 2,73]   положительная -y(x)> 0 x∈[-0,73; 1]u[2,73; +∞)

7. пересечение с осью oy. y(0) =   2

8. исследование на чётность.  

в полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

y(-x) ≠ y(x) - не чётная. y(-x) ≠ -y(x),   функция ни чётная, ни нечётная.  

9. первая производная.     y'(x) =   3*x² -6*x = 0

корни y'(x)=0.     х₄ =0     х₅=2

производная отрицательна   между корнями - функция убывает.

10. локальные экстремумы.  

максимум - ymax(x₄=   0) =2.   минимум - ymin(x₅ =   2) =-2

11. интервалы возрастания и убывания.  

возрастает х∈(-∞; 0; ]u[2; +∞) , убывает - х∈[0; 2]

12. вторая производная - y"(x) = 6* x -6 = 0

корень производной - точка перегиба х₆=1

13. выпуклая “горка» х∈(-∞; х₆ = 1]

вогнутая – «ложка» х∈[х₆ = 1; +∞).

14. график в приложении.

3)

ymin(0) = -3,   ymax(2) = 9 - ответ.