Через две трубы вода из бассейна выливается за 3 часа. сколько еще надо подключить труб, чтобы вода вылилась за 2 часа? решить, !

х-скорость выливания за 1 час, тогда

3=t*t/2t=t/2

t=6 часов

x=1/6 бассейна одной трубой за 1 час

за два часа одна труба выльет 2*1/6=1/3 бассейна

значит 1/1/3= 3 трубы понадобится для данного

Как я понимаю, на листочке эту не решить. по крайней мере, это будет мучительно долго. а на компьютере - запросто. итак, решение. т.к. наибольшее слагаемое равно 12, то нам надо посчитать количество разбиений числа 64-12=52 на 9 натуральных слагаемых. т.е., если обозначим через p(n,m,n) количество разбиений числа n на не более, чем m слагаемых, каждое из которых не превосходит n, то нам надо найти p(12,9,52)-p(12,8,52). если у нас есть произвольное разбиение числа n на ровно m слагаемых, где каждое не больше n, то вычитая из каждого такого слагаемого 1, мы получим разбиение числа n-m на не более, чем m слагаемых, где каждое слагаемое уже не больше n-1. и в обратную сторону тоже верно.  т.е. имеет место рекуррентное соотношение p(n,m.n)-p(n,m-1,n)=p(n-1,m,n-m). его уже достаточно для вычисления p(n,m.n) для произвольных n,m,n. остается только заметить, что если nm< n или n< 0, то p(n,m,n)=0, и если  n=0 или nm=n, то p(n,m,n)=1. в ручную применять это рекуррентное соотношение для наших чисел долго, но на компьютере, например в программе maple следующий рекурсивный алгоритм мгновенно находит ответ: p: =proc(n,m,n) if (n< 0) or (n*m< n) then return 0; fi; if (n=0) or (n*m=n) then return 1; fi; return p(n,m-1,n)+p(n-1,m,n-m); end proc: получаем p(12,9,52)-p(12,8,52)=p(11,9,43)=4447. так что ответ здесь будет 4447.

  если вам нужно "сухое" доказательство , то это малая теорема ферма ,  , у вас тут  , и оно не делится на  , откуда и следует утверждение       если хотите более элементарное доказательство , можно это доказать при бинома ньютона , или попробовать   представить просто число в виде  . но рассматривать частные случаи , что то не охота   либо через группу галуа , если это доказательство подойдет .   если рассматривать уравнение вида  ,   то есть имеет вид  , то найдется такое число во множители что , будет делится на  , опять не для всех , а только для простого числа . а она следует из теорема эйлера.