Разложите на множители: а) c^3+8e^3; б) a^3-d^6

1)(с+2e)(c²-2ce+4e²) 2)(a-d²)(a²+ad²+d^4)

Свойства чисел. делимость 1. если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1? ответ. уменьшится на 2013. решение. пусть изначально были числа x и y (с произведением xy ). после того как первый множитель увеличили на 1, а второй уменьшили на 1, получилось (x 1)( y 1) = xy y  x 1. произведение увеличилось на 2011, то есть y  x 1= 2011 или y  x = 2012 . если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится (x 1)( y 1) = xy y  x 1. заметим, что xy y  x 1= xy ( y  x) 1= xy 2012 1= xy 2013 . то есть произведение уменьшилось на 2013. 2. даны ненулевые числа x, y и z. чему может равняться значение выражения ( || − || ) ∙ ( || − || ) ∙ ( || − || ) ответ. 0. решение. докажем, что выражение, стоящее по крайней мере в одной из скобок, равно нулю. выражение, стоящее в первой скобке, принимает нулевое значение, если x и y одного знака. аналогично для второй и третьей скобок. но среди ненулевых чисел x, y и z обязательно найдутся либо два положительных числа, либо два отрицательных. а значит, хотя бы один из трех множителей равен нулю. поэтому все произведение равно нулю. 3. сравнить числа: 9 9 100 1 . . 5 2 5 3 1 5 1 5 2 1 5 0 5 1 1         и 100 1 . ответ обосновать! ответ. числа равны. решение. справедливо равенство 1 1 1 ( 1) 1    n  n  n n . применяя его к сумме дробей, получим 100 1 100 1 5 0 1 100 1 9 9 1 . . 5 2 1 5 1 1 5 1 1 5 0 1          . 4. сумма двух положительных чисел и сумма их кубов являются рациональными числами. можно ли утверждать, что а) сами числа рациональны? б) сумма их квадратов рациональна? ответ. а) нет. б) да, можно. указание. а) в качестве примера можно взять числа a  2 1, b  2 1 . б) пусть числа x  a  b и 3 3 y  a  b рациональны. тогда 3 ( ) 3 3 3 x  a  b  ab a  b = y  3x  ab. отсюда x x y ab 3 3   – рациональное число. поэтому число a b (a b) 2ab 2 2 2     также рационально.

Треугольник паскаля (по нему определим коэффициенты разложения:                                               1                                             1    1                                           1    2    1                                         1  3    3    1                                       1  4    6    4    1                                     1 5  10  10    5    1