Решить уравнение cos 2x - cos x = 0 и указать корни принадлежащие отрезку [п; 2п]

cos 2x - cos x = 0

2cos²x - 1 - cos x = 0

замена t = cos x

2t² - t - 1 = 0

t = 1, t = -1/2

 

cos x = 1

x = 2 pi n

данному отрезку принадлежат корень 2pi

 

cos(x) = -1/2

x = 2pi/3 + 2 pi n

x = 4pi/3 + 2 pi n

данному отрезку принадлежат корень 4рi/3

(№1)      (x-2)*(x-+3)*(x+3)=(y-3)*(y-+2)*(y+2);

((x-+3))*((x-2)+(x+3))=((y-+2))*((y-3)+(y+2));

(-5)*(2x+1)=(-5)*(2y-1);

2x+1=2y-1;

2x=2(y-1).

 

(№2)      (x+2)*(x+2)+(x-3)*(x-3)=2x(x-4)+13y;

(x*x)+4x+4+(x*x)-6x+9=2(x*x)-8x+13y;

2(x*x)-2x+13-2(x*x)+8x=13y;

6x+13=13y;

6x=13(y-1).

 

(№3)      2x=2(y-1)

                    3*2x=13(y-1)

 

                    6y-6=13y-13

                    2x=2(y-1)

 

                  y=-1

                x=-2

 

∫(x*arcsin(x)dx

пусть

    u=arcsin(x)       du=dx/√(1-x^2)

    dv=xdx               v=x^2/2

далее интегрируем по частям

  ∫(x*arcsin(x)dx=x^2*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(x²dx/√(1-x²)=

пусть

    x=sin(t)

    dx=cos(t)

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/√(1-sin²(u))=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/cos(u))=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/2)*∫(sin²(u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -(1/4)*∫(1-cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -du/4 +(1/4)*∫cos(2u)du=

=x²*arcsin(x)/2   -u/4 +(1/8)*sin(2u)+c=

=x²*arcsin(x)/2   -arcsin(x)/4 +(x*√(1-x²)/4)*sin(2u)+c