Ира купила 4 книги. все книги без первой стоят 72000 руб., без второй – 80000 руб., без третьей – 60000 руб., без четвертой 58000 руб. сколько стоила вся покупка?
Ответы
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
5
a
4
−
2
a
3
+
0
,
3
a
2
−
4
,
6
a
+
8
x
y
3
−
5
x
2
y
+
9
x
3
−
7
y
2
+
6
x
+
5
y
−
2
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
8
b
5
−
2
b
⋅
7
b
4
+
3
b
2
−
8
b
+
0
,
25
b
⋅
(
−
12
)
b
+
16
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
8
b
5
−
2
b
⋅
7
b
4
+
3
b
2
−
8
b
+
0
,
25
b
⋅
(
−
12
)
b
+
16
=
=
8
b
5
−
14
b
5
+
3
b
2
−
8
b
−
3
b
2
+
16
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
8
b
5
−
14
b
5
+
3
b
2
−
8
b
−
3
b
2
+
16
=
−
6
b
5
−
8
b
+
16
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен
12
a
2
b
−
7
b
имеет третью степень, а трехчлен
2
b
2
−
7
b
+
6
— вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
5
x
−
18
x
3
+
1
+
x
5
=
x
5
−
18
x
3
+
5
x
+
1
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
9
a
2
b
(
7
a
2
−
5
a
b
−
4
b
2
)
=
=
9
a
2
b
⋅
7
a
2
+
9
a
2
b
⋅
(
−
5
a
b
)
+
9
a
2
b
⋅
(
−
4
b
2
)
=
=
63
a
4
b
−
45
a
3
b
2
−
36
a
2
b
3
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими наиболее часто встречаются выражения
(
a
+
b
)
2
,
(
a
−
b
)
2
и
a
2
−
b
2
, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например,
(
a
+
b
)
2
— это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения
(
a
+
b
)
2
,
(
a
−
b
)
2
нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
b
a
+
b
2
=
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок этому краткие словесные формулировки.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
- квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
(
a
−
b
)
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
- квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
- разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
наветное так
2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
Критические точки функции:
,
,
Определим знак производной в каждом интервале монотонности:
, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",
, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".
Вычислим сам экстремум функции в этих точках:
3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:
Критические точки: , , ,
Определим знак II производной в интервале кривизны:
, значит, кривая выпуклая на промежутке,
, значит, кривая вогнутая на промежутке;
Вычислим ординату точки перегиба:
4. Найдём дополнительные точки графика:
По результатам исследования строим график функции:
Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .
1. Область определения функции ,
точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:
Значит, точка разрыва рода,
прямая вертикальная асимптота графика функции.
Найдём наклонную асимптоту графика:
где угловой коэффициент прямой найдём по формуле
Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:
Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .
2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
, учтем правило дифференцирования
Критические точки функции:
, , , , х=2,
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
обозначаем книги через a, b, c, d
b + c + d = 72000
a + c + d = 80000
a + b + d = 60000
a + b + c = 58000
давайте сложим все уравнения:
3a + 3b + 3c + 3d = 270000
a + b + c + d = 90000
ответ: 90000 рублей.