Докажите что (53 в кубе+63 в кубе) делится на 116

по формуле суммы кубов

разложим данное число на множители

 

один из множителей 116, пожтому и данное число делится на 116. доказано

(53^3+63^3) делится на 116

(53+63)(53^2-53*63+63^2)

53+63=116, значит и всё пороизведение делится на 116.

Каждая буква слова кенгуру заменена одной из цифр 1,2,3,4,5,6.у 5-ая и 7-ая буква в слове кенгуру.получившееся число не делится на 2, значит последняя цифра должна быть нечетным числом. это может быть: 1, 3, 5.получившееся число делится на 3: значит сумма чисел должна быть кратной 3.подставим вместо у число 1 (другие числа могут идти в любом порядке): кенгуру=2345161, сумма чисел = 22 - не кратно 3 (22: 3=7 целых 1 в остатке). значит, у ≠1 подставим вместо у число 3 (другие числа могут идти в любом порядке): кенгуру=1245363, сумма чисел = 24 -  кратно 3 (24: 3=8). цифра 3 подходит под условия . у=3 подставим вместо у число 5 (другие числа могут идти в любом порядке): кенгуру=1234565, сумма чисел = 26 - не кратно 3 (26: 3=8 целых 2 в остатке).  значит, у ≠5. ответ: у=3

Существует следующее утверждение: если рациональное уравнение с целочисленными коэффициентами имеет хотя бы один целый корень, то искать его стоит только среди делителей свободного члена. свободный член здесь: -33. значит, претенденты на один из корней такие: +-1; +-2; +-11; +-33 - делители -33. просто проверяем подстановкой каждое из этих чисел. в конечном итоге получаем, что 3 - корень уравнения. один корень мы подобрали. чтобы найти другие корни, можно использовать разные методы: можно использовать схему горнера или поделим уголков на x - a, где a - подобранный корень, у нас это 3. делим уголком уравнение на x-3. можно по схеме горнера подобрать коэффициенты квадратного уравнения. так или иначе мы получаем, что x^3 + 2x - 33 = (x-3)(x^2 + 3x + 11) теперь осталось лишь найти корни уравнения x^2 + 3x + 11 = 0: d = 9 - 44 < 0 - корней нет значит, x = 3 - единственный корень исходного уравнения