Удвух товарищей было 140 рублей на двоих. когда первый потратил 26 рублей, а второй - 60 рублей, то у первого осталось денег в 2 раза больше, чем у второго. сколько денег было у каждого первоначально?

Х-у первого у-у второго х-26-осталось у первого у-60-осталось у второго,у первого в 2 раза больше х+у=140 (х-26)=2(у-60) х=140-у х-26=2у-120 140-у-26=2у-120 2у+у=140-26+120 3у=234 у=78 х=140-у=140-78=62 х=62

А)(7х+4) -  √(7х+4)  =  42 сделаем замену: √(7х+4) = у,   где у  ≥ 0 получим квадратное уравнение: у² - у - 42 = 0 , которое решим с теоремы виета: {у₁ * у₂ = - 42 {у₁ + у₂ = 1 42 = 6 * 7 => 7- 6 = 1 => y₁ = 7; y₂ = - 6 отриц. не удовлетворяет условию. сделаем обратную замену: √(7х+4) = 7 √(7х+4)² = 7² 7х + 4 = 49 7х = 49 - 4 7х =45 х = 45/7 проверка: (7 · 45/7+4) -  √(7 · 45/7+4)  =  42 (45+4) -  √(45+4)  =  42 49 -  √49 = 42 49 - 7 = 4242 = 42ответ: 45/7   или   б) (12х-1)+√( 12х-1)=6сделаем замену: √(12х - 1) = у,   где у  ≥ 0 получим квадратное уравнение: у² + у - 6 = 0, которое решим с теоремы виета: {у₁ * у₂ = - 6 {у₁ + у₂ = - 1 6 = 3 * 2 => 2 - 3 = 1 => y₁ = 2; y₂ = - 3 отриц. не удовлетворяет условию. сделаем обратную замену: √(12х-1) = 2 √(12х-1)² = 2² 12х - 1  = 4 12х = 4 + 1 12х = 5 х = 5/12 проверка: (12 · 5/12 - 1) +√(12 · 5/12 - 1)  =  6 (5 - 1) +  √(5 - 1)  =  6 4 +  √4 = 6 4 + 2  = 6 42 = 42 ответ: 5/12 в)√(15-х)+  √( 3-х)=6

возведём обе части уравнения в квадрат:  

(√(15-х)+  √(3-х)) =6² 15-х+3-х+ 2*√(15-х) (3-х) = 36 после подобных: 2√(15-х) (3-х) = 18 + 2х 

√(15-х) (3-х) = 9 + х  опять возводим обе части в квадрат и перемножаем одновременно скобки:

(√(15-х) (3-х))² = (9 + х)²  45 - 3х - 15х +х² =81+18х+х²  - 36х = 36 х = - 1

проверка:

√()) +  √( )) =6  √16 +  √4 = 6 4 + 2 = 6   6=6 ответ: х = - 1. г) √(3х+7) - √(х+1) = 2

возведём обе части уравнения в квадрат:  

(√(3х + 7) -  √(х + 1))²  = 2²3х+7+х+1- 2*√(3х+7) (х+1) =  4после подобных:   -2√(3х+7) (х+1) = -4 - 4х 

√(3х+7) (х+1) = 2 + 2х 

опять возводим обе части в квадрат и перемножаем одновременно скобки:

(√(3х+7) (х+1))² = (2х+2)²  3х² + 7х  + 3х + 7  = 4х² + 8х + 4  х² - 2х - 3 = 0 

получили квадратное уравнение,  которое решим с теоремы виета: {х₁ * х₂ = - 3{х₁ + х₂ = 23  = 3 * 1 => 3  - 1 = 2 => х₁ = 3; х₂ = - 1 отриц. не удовлетворяет

проверка:

√( 3  · 3  + 7) -  √   (3 + 1) = 2√16 -  √4 = 2 4 - 2 = 2   2 = 2 ответ: х = 3.

      (a+b)  3        =        (a+b)(a  2+2ab+b  2)      =                      =      a  3+2a  2b+ab  2      +      a  2b+2ab  2+b  3      =                        =      a  3+3a  2b+3ab  2+b  3              так как равенство  (1)  верно при любых значениях  a  и  b,      то оно является тождеством. это тождество называется    формулой куба суммы. если в эту формулу вместо  a  и  b    подставить какие-нибудь выражения, например  5y  3  и   2z  ,  то опять получится тождество.