Пусть x и y такие натуральные числа , что числа 7x+9y делится на 11.доказать , что число 57x+78y делится на 11

предположим, что это утверждение верно. тогда система:

7х+9у = 11k

57x+78y = 11n, где k,n - натуральные числа,

должна иметь решение (х,у) в натуральных числах. решим систему:

из первого выразим у:

у = (11к-7х)/9,  подставим во второе:

57х + 78(11к-7х)/9 = 11n

513x - 546x = 11(9n-78k)

33x = 33(26k - 3n)

x = 26k - 3n    - натуральное число

значит наше предположение верно и 57х + 78у - делится на 11.

 

57 * х + 78 * y = (35 * x + 45 * y) + (22 * x + 33 * y) = 5 * (7 * x + 9 * y) +

11 * (2 * x + 3 * y) , следовательно, если  7 * x + 9 * y  делится на 11. то и

57 * х + 78 * y  делится на 11

1) y =  (2x^2 - 32 x + 32) * e^x + 32; y ' (x) = (2x^2 - 32 x + 32) ' * e^x + (2x^2 - 32x + 32) * (e^x) '= (4x-32)*e^x +(2x^2-32x +32)* e^x = e^x(4x - 32 + 2x^2 - 32x + 32) = e^x(2x^2 - 28x)=2e^x*x(x - 14); y '(x) = 0; 2e^x * x *(x - 14) = 0; e^x > 0 при всех х;   тогда 2x*(14 - x) = 0; x1 = 0; x2 = 14 - стационарные точки. определим знак производной в точке х = 15. y '(15) = 2e^15 * 15*(-1) = -30*e^15   < 0. дальше знаки чередуем, так как нет корней четной степени.   y '  -                   +                     - y убыв       возр                 убывает точка максимума - это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус, то есть х = 14. y = x^(3/2) - 9x + 19 y '(x) = 3/2 * x^(3/2 -   1) - 9= 3/2 * x^(1/2)   - 9 = (3*√x)/2   -   9;     3√x / 2   - 9 = 0; 3√x   / 2 = 9; √x / 2 = 3; √x = 6; x = 6^2;   x = 36. единственная стационарная точка. убедимся, что она является точкой минимума. для этого проверим знак производной слева от  нее, например в точке х =0 (просто так удобнее). y '(0)= 3 *√0 / 2   - 9 = - 9 <   0.  y '               --                         + у       убывает             возрастает. производная поменяла знак с минуса на плюс, то есть х = 36 - точка минимума. подставим в формулу функции значение х = 36 и найдем наименьшее значение функции. y(наим)=36^(3/2) - 9*36 + 19 = 6^3 - 324 + 19= 216 - 324 + 19  = - 89

№1 не поняла условие №2 прямая пересекает график функции в точке (1; 1) можно графически, тогда составлчем таблицы для построения графиков и получаем точку (сами графики можно и не строить). а можно составить систему из этих двух уравнений, тогда получаем 2-х=корень(х). область определения от 0 до 2 включительно. решаем, возводя в квадрат обе части равенства: х=(2-х)^2 х=2-4х+х^2 x^2-5x+4=0 d=25-16=9 x1=1, x2=4(данный корень не входит в область определения). значит, х=1, отсюда у=1 - единственная точка пересечения