На полке стоит 8 книг. сколькими способами можно выбрать каждые 3 книги, каждые 2 из которых не лежат рядом

занумеруем места книг от 1 до 8. тогда 3 книги, каждые из которых не лежат рядом можно поставить на места 1, 3, 5 или 1,3,6,или 1,3, 7 или 1,3, 8, или 1,4, 6, или 1,4, 7, или 1, 4,8, или 1,5, 7, или 1, 5, 8, или 1, 6, 8 , или 2,4,6, или 2,4,7 или 2,4,8 или 2,5,7, или 2,5,8, или 2,6,8 или 3,5,7 или 3, 5, 8, или 3,6,8, ил 4, 6, 8 - всего 20 способов, при этом нам не важен их порядок, то всех способов будет 3! *20=1*2*3*20=120 способов, остальные 5 книг можно ставить в любом порядке на оставшихся 5 местах, поэтому их можно переставлять 5! =1*2*3*4*5=120 способов.

по правилу событий всех возможных способв перестановки книг возможно

3! *20*5! =120*120=14 400 способов

Пусть наши последовательные числа: интерпретируя условие, нам надо получить наибольшее число значений k и m таких, что заметим, что если мы уже выбрали для некоторых k и m множители 2 и 3, то какой бы из множителей 2 и 3 для оставшихся 5 чисел мы не выбрали, ни одно из полученных 5 произведений не равно какому-либо из первых 2. действительно. предположим, что существует такое целое l, что верно одно из следующих равенств: мы сразу же получим, что для первого случая k=l, для второго l=m, для третьего l=k и для четвертого l=m. то есть совпасть могут не более 2 результатов (одновременно, несколько пар возможно).  найдем наибольшее количество таких пар. заметим, что  кратно 3, а кратно 2. они равны, значит    кратно 2, а    кратно 3. смотрим, какого максимальное количество среди наших 7, чисел кратных 3. получим 3 (а именно a, a+3, a+6, если a не делится на 3, то их будет ровно 2) предположим, что их три. тогда тогда: это наши 3 равенства, составленные для наших 3 пар равных чисел. но одно из чисел a+k, a+k+2, a+k+4 делится на 3, значит это число уже стоит в одном из числителей в левой части. но, как замечалось ранее, в двух сразу оно стоять не может. то есть либо это число идет с множителем 2 и стоит в левой части одного из равенств, либо с множителем 3 в правой части одного из равенств. значит пар одинаковых результатов не более 2. а на это можно пример: возьмем числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 умножим первое на 3, второе на 2, третье на 3 и пятое на 2, а остальные - как угодно. на количество равных это не повлияет. получим: таким образом минимальное количество различных 5. ответ: 5

Обозначим площадь грани кубика за а. пусть в ряду имеется х кубиков. тогда, у крайнего левого и крайнего правого в площади поверхности учитываются 5 сторон, у остальных - 4 стороны. находим площадь поверхности: для крайних двух кубиков:   для остальных (х-2) кубиков:   общая:   пусть после добавления кубиков их устало у штук. общая площадь поверхности в этом случае будет равна . по условию она увеличилась в k раз. получаем равенство: как видно и выражение  и выражение  при делении на 4 дает остаток 2. однако при четном  возникает противоречие:   - левая часть кратна 4, в то время как правая по-прежнему при делении на 4 дает остаток 2. значит k не может быть четным числом, и значение 6 недопустимо. ответ: 6