Решить . всем, кто откликнется, заранее среди прямоугольников, что имеют периметр 20 см, найдите той, диагональ которого наименьшая.

Р= 2(a+b) = 20 a+b  = 10 диагональ прямоугольника (по т.пифагора) =  √(a² + b²) можно рассмотреть и квадрат диагонали (для простоты вычислений), т.к. функция  √х -- монотонно возрастающая, т.е. чем меньше (х), тем меньше  √х d² = a² + b² = a² + (10-a)² = 2a² + 100 - 20a для определения экстремума -- рассмотрим f  '  (a) = 4a - 20 = 0 а = 5 и b  =  5 это то, что это именно минимум, можно проверить если возьмете стороны чуть другие (например, 4 и 6), то диагональ будет

х=1

Объяснение:

очевидный корень х=1.

Докажем его единственность.

Обозначим :

y=x-1

Уравнение преобразуется в следующее :

sqrt(7y+9)+sqrt(7y+4)=sqrt(5y+9)+sqrt(5y+4)

при у больше 0 левая часть больше правой , т.к. квадратный корень функция монотонно возрастающая  и sqrt(7y+9)>sqrt(5y+9) при у>0 и

sqrt(7y+4)>sqrt(5y+4) при у>0 (т.к. аргумент правой части больше аргумента левой части).

Точно также при у<0  неравенство обращается, левая часть меньше правой. Равенство достигается при у=0, что и доказывает единственность решения.

Доказательство: пусть  натуральное число, тогда  будет натуральным и нечётным числом. возведем данное число в квадрат: вычтем 1 и получим: докажем с индукции, что данное число делиться на 8: при  , 0 делиться на 8, следовательно условие выполняется. предположим что данное число делиться на 8 при некотором  . докажем что данное число делиться на 8 при  : по предположению  делиться на 8. следовательно, существует натуральный  так что: отсюда: следовательно, при  данное число тоже делиться на 8. ч.т.д.