Найти точку экстремума заданной функции и определить их характер

1)  f(x) = x + (4  / x).  для построения графика нужен расчет точек графика: х                 -4        -3        -2    -1        0              1      2        3          4 у=х+(4/х) -5    -4.333    -4    -5    ######        5      4    4.3333      5 область определения функции.точки, в которых функция точно неопределена: x1 = 0.  точки пересечения с осью координат x.  график функции пересекает ось x при f = 0,  значит надо решить уравнение: 4 x + - = 0 x решения не найдено,  график не пересекает ось x.  точки пересечения с осью координат y.  график пересекает ось y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x + 4/x.4 - 0.  результат: f(0) = zooзн. f(x) не пересекает .экстремумы функции.  для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd (x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: d (x)) = dx 4 1 - -- = 0 2 x решаем это уравнение.  корни этого ур-ния  x1 = -2,  x2 = 2значит, экстремумы в точках: (-2, -4)(2, 4)интервалы возрастания и убывания функции: найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: минимумы функции в точках: x2 = 2максимумы функции в точках: x2 = -2убывает на промежутках(-oo, -2] u [2, oo)возрастает на промежутках[-2, 2]  точки перегибов  найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d (x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d (x)) = 2 dx 8 -- = 0 3 x решаем это уравнение  решения не найдены,  перегибов у функции нет  вертикальные асимптоты  есть: x1 = 0  горизонтальные асимптоты  горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x-> +oo и x-> -oo 4 lim x + - = -oo x-> -oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 4 lim x + - = oo x-> oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует  наклонные асимптоты  наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 4/x, делённой на x при x-> +oo и x-> -oo 4 x + - x lim = 1 x-> -oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева: y = x, 4 x + - x lim = 1 x-> oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: y = x.  чётность и нечётность функции  проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).итак, проверяем: 4 4 x + -- = -x - -- 1 1 x x - нет 4 -4 x + -- = --x - 1 1 x x - да,  значит, функция  является  нечётной.2) эта функция исследуется аналогично.

Примем , что первая труба заполняет бассейн за х часов , тогда вторая труба заполнит бассейн за (х + 5) часов . за 1 примем объем бассейна . 1/х - скорость заполнения бассейна первой трубой  1/(х + 5) - скорость заполнения бассейна второй трубой 1/х + 1/ (х + 5) = (х + 5) / х*(х + 5) + х / х*(х + 5) = (2х + 5) / (x^2 + 5x) - скорость заполнения бассейна за 1 час двумя трубами . по условию имеем : 1   / (2х + 5)/(x^2 + 5x) = 6 x^2 + 5x = 6*(2x + 5) x^2 + 5x = 12x + 30 x^2 + 5x -12x - 30 = 0 x^2 - 7x - 30 = 0   .    найдем дискриминант уравнения  d и найдем его корни . d = (- 7)^2 - 4 * 1 *(- 30) = 49 + 120 = 169 . корень квадратный из дискриминанта равен 13 . корни уравнения равны : 1 - ый = (- (- 7) +13) / 2*1 = (7 + 13) / 2 = 20 / 2 = 10 ; 2 - ой = (- (- 7) - 13) / 2*1 = (7 - 13) / 2 = - 6 / 2 = - 3 . второй корень нам не подходит так как время заполнения не может быть меньше 0 . отсюда время заполнения бассейна первой трубой равно х = 10 часов  

1. а) 3, 6, 9, 12, 15 б) а6=18 в) число 19 - простое, поэтому не делится на 3, значит, его нет в последовательности число 27 есть в последовательности, т.к. оно делится на 3. 2. х1 = -5    d = 2 xn=x1+(n-1)*d x6=-5+4*2=3 x11=-5+10*2=15 3. а10 =13, d=5 an=a1+(n-1)*d a1=an-(n-1)*d a1=a10-9*d=13-9*5=13-45=-32 4. a1=-14    a2=-6      a3=2 d=a3-a2=2+6=8 an=a1+(n-1)*d an=-14+(n-1)*8 -14+(n-1)*8> 800 (n-1)*8> 814 n-1> 814/8 n> 407/4+1 n> 102,75 начиная с n=103  члены арифметической прогрессии будут больше 800.