2sin(п+x)*sin(п/2+x)=sin x, и найти корни этого уравнения принадлежащего промежутку [-5пи; -4пи]

2sin(π+x)*sin(π/2+x)=sinx -2sinx*cosx=sinx sinx-2sinx*cosx=0 sinx(1-2cosx)=0 sinx=0 или 1-2cosx=0 x=πn, n∈z   2cosx=1                     cosx=1/2                     x=(+-)π/3 +2πn, n∈z 1) x₁=-5π 2) x₂=-4π-π/3=(-12π-π)/3=-13π/3 3)  x₃=-4π

Т.к то либо q\equiv0(mod\;3)" class="latex-formula" id="TexFormula2" src="https://tex.z-dn.net/?f=q%5E2%5Cequiv%200%28mod%5C%3B3%29%3D%3Eq%5Cequiv0%28mod%5C%3B3%29" title="q^2\equiv 0(mod\;3)=>q\equiv0(mod\;3)"> (1), либо (2).

Число может давать один из трех остатков 0, 1, 2 при делении на 3. Тогда

a^2\equiv0(mod\;3)\\ a\equiv1(mod\;3)=>a^2\equiv1(mod\;3)\\ a\equiv2(mod\;3)=>a^2\equiv2*2(mod\;3)\equiv1(mod\;3)" class="latex-formula" id="TexFormula4" src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5Cequiv0%28mod%5C%3B3%29%3D%3Ea%5E2%5Cequiv0%28mod%5C%3B3%29%5C%5C%20a%5Cequiv1%28mod%5C%3B3%29%3D%3Ea%5E2%5Cequiv1%28mod%5C%3B3%29%5C%5C%20a%5Cequiv2%28mod%5C%3B3%29%3D%3Ea%5E2%5Cequiv2%2A2%28mod%5C%3B3%29%5Cequiv1%28mod%5C%3B3%29" title="a\equiv0(mod\;3)=>a^2\equiv0(mod\;3)\\ a\equiv1(mod\;3)=>a^2\equiv1(mod\;3)\\ a\equiv2(mod\;3)=>a^2\equiv2*2(mod\;3)\equiv1(mod\;3)">

Т.е. квадрат натурального числа дает один из двух остатков 0, 1 при делении на 3.

Тогда для (2) единственный вариант . В случае (1) же получили, что . А значит в любом случае .

Т.к. оно то ответ: (2;3)

___________________________________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

Напомним основные свойства степени. пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. тогда1) an  am  = an+m2)  anam=an−m3) (an)m  = anm  4) (ab)n  = an  bn  5)  (ab)n=anbn6) an  > 0  7) an  > 1, если a > 1, n > 0  8) an  < am, если a > 1, n < m  9) an  > am, если 0< a < 1, n < m  в практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. такие функции называют  показательными. это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.определение.  показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,  a≠1показательная функция обладает следующими свойствами1) область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.это свойство следует из того, что степень ax  где a > 0, определена для всех действительных чисел x.2) множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax  = b, где а > 0,  a≠1, не имеет корней, если  b≤0, и имеет корень при любом b > 0.3) показательная функция у = ax  является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a  >   1, и убывающей, если 0 < a < 1.это следует из свойств степени (8) и (9)построим графики показательных функций у = ax  при a > 0 и при 0 < a < 1.использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax  при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси oх.если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси oх (но не пересекает её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax  при a > 0.если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.график функции у = ax  при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси ох.если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её). таким образом, ось ох является горизонтальной асимптотой графика.если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.показательные уравнениярассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax  = ab  где а > 0,  a≠1, х — неизвестное. это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,  a≠1  равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.решить уравнение 23x  • 3x  = 576  так как 23x  = (23)x  = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x  • 3x  = 242, или в виде 24x  = 242, откуда х = 2.ответ х = 2решить уравнение 3х + 1  - 2 • 3x - 2  = 25вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33  - 2) = 25, 3х - 2  • 25 = 25,откуда 3х - 2  = 1, x - 2 = 0, x = 2ответ х = 2решить уравнение 3х  = 7х  так как  7x≠0  , то уравнение можно записать в виде  3x7x=1, откуда  (37)x=1, х = 0ответ х = 0решить уравнение 9х  - 4 • 3х  - 45 = 0  заменой 3х  = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2  - 4t - 45 = 0. решая это уравнение, находим его корни: t1  = 9, t2  = -5, откуда 3х  = 9, 3х  = -5.уравнение 3х  = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х  = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.ответ х = 2решить уравнение 3 • 2х + 1  + 2 • 5x - 2  = 5х  + 2х - 2  запишем уравнение в виде3 • 2х + 1  - 2x - 2  = 5х  - 2 • 5х - 2, откуда2х - 2  (3 • 23  - 1) = 5х - 2( 5  2  - 2 )2х - 2  • 23 = 5х - 2• 23(25)x−2=1x - 2 = 0ответ х = 2решить уравнение 3|х - 1|  = 3|х + 3|  так как 3 > 0,  3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2  = (х + 3)2, откудах2  - 2х + 1 = х2  + 6х + 9, 8x = -8, х = -1проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.ответ х = -1