Cos2x+3sinx-2=0 решите уравнение и найдите все корни, принадлежащие отрезку [п и пять пи на два]

А)cos2x + 3sinx - 2 = 0
cos²x - sin²x + 3sinx - 2 =0 
1-sin²x - sin²x + 3sinx - 2 = 0
-2sin²x + 3sinx - 1 = 0 |*(-1)
2sin²x - 3sinx + 1 =0 
Обозначим: sinx= t, тогда
2t² - 3t + 1 = 0 
D= 9 - 8 = 1
t₁= 1, t₂ = 1/2

(1) sinx= 1
x₁= π/2+2πn, n ∈ z

(2) sinx= 1/2
x₂= (-1)^k arcsin1/2 + πk
x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z


б) x₁= π/2+2πn, n ∈ z
n=1, x= π/2+2π= 5π/2 ∈ [π; 5π/2]

x₂= (-1)^k π/6 + πk, k∈z
n= 2, x= (-1)² π/6 +2π = π/6+2π = 13π/6 ∈ [π;5π/2]

 При остальных целых значениях n и k, значения х выходят за пределы заданного отрезка.

ответ: а) π/2+2πn, n∈z; (-1)^k π/6 + πk, k∈z.
б) 5π/2, 13π/6.

√3*sin(2x) - 2cos^2(x) = 2√(2+2cos(2x))
√3*2sinx*cosx - 2cos^2(x) = 2√(2+2(2cos^2(x) - 1))
2cosx*(√3*sinx - cosx) = 2√(2+4cos^2(x) - 2) = 2√(4cos^2(x)) = 4*|cosx|
Разбиваем на две системы, раскрывая модуль:
1) cosx ≥ 0
2cosx*(√3*sinx - cosx) = 4cosx
2cosx*(√3*sinx - cosx - 2) = 0
cosx = 0, x = π/2 + πk, k∈Z

sin(2*x/2) = 2*sin(x/2)*cos(x/2)
cos(2*x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)
2 = 2cos^2(x/2) + 2sin^2(x/2)
√3*2*sin(x/2)*cos(x/2) - cos^2(x/2) + sin^2(x/2) - 2cos^2(x/2) - 2sin^2(x/2) = 0
-3cos^2(x/2) - sin^2(x/2) + 2√3*sin(x/2)*cos(x/2) = 0 - разделим обе части на cos^2(x/2)
-3 - tg^2(x/2) + 2√3*tg(x/2) = 0
tg^2(x/2) - 2√3*tg(x/2) + 3 = 0, tg(x/2) = t
t^2 - 2√3*t + 3 = 0, D=4*3 - 4*3 = 0
t = √3, tg(x/2) = √3, (x/2) = π/3 + πk, x = 2π/3 + 2πk, k∈Z

2) cosx < 0
2cosx*(√3*sinx - cosx + 2) = 0
cosx = 0 - не учитываем, т.к. неравенство строгое.
(√3*sinx - cosx + 2 = 0) - преобразуем аналогично первому пункту, получим:
√3*2*sin(x/2)*cos(x/2) - cos^2(x/2) + sin^2(x/2) + 2cos^2(x/2) + 2sin^2(x/2) = 0
cos^2(x/2) + 3sin^2(x/2) + 2√3*sin(x/2)*cos(x/2) = 0
1 + 3tg^2(x/2) + 2√3*tg(x/2) = 0
3t^2 + 2√3*t + 1 = 0, D=4*3 - 4*3 = 0
t = -2√3/6 = -√3/3
tg(x/2) = -√3/3, (x/2) = -π/6 + πk, x = -π/3 + 2πk, k∈Z

Объединяем три решения, получаем: x = π/2 + πk, x = 2π/3 + πk, k∈Z

Пусть х км/ч - скорость 1 автомобиля ( 1 - его путь),
тогда х-16 км/ч - скорость 2 автомобиля на 1 половине пути (0.5 - путь)
96 км/ч - скорость 2 автомобиля на 2 половине пути (0.5 - путь)
1/х - время 1 автомобиля
0.5/х-16 + 0.5/96 - время 2 автомобиля
Время равно.

Составим уравнение:
1/х=0.5/х-16 + 0.5/96
1/х - 0.5/х-16 - 0.5/96=0
 96х-1536-48х-0.5х²+8х=0
-0.5х²+56х-1536=0
0.5х²-56х+1536=0
D=b²-4ac=3136-3072=64 √64=8
x1= -b-√D/2a=56-8=48 (не подходит по условию задачи,т.к. < 57км/ч)
х2=-b+√D/2a=56+8=64

ответ:64 км/ч