Турист должен был попасть и з а в б за определенное время, однако он проходил в час на 0.5 км, меньше, чем предполагал, поэтому пришел в б с опозданием на 40 мин . идя обратно турист проходил в час на 1.5км больше , чем на пути из а в б и затратил на оратный путь на 1час 40 мин меньше, чем на путь из а в б . найти аб

Х - запланированная скорость
у - запланированное время
ху - искомое расстояние АБ
(х - 0,5) - скорость из А в Б
(у + 2/3) - время из А в Б 
(х - 0,5)  + 1,5 = (х + 1) - скорость из Б в А 
(у + 2/3) - 1  2/3 = (у - 1) -  время из Б в А
Система уравнений 
{(х - 0,5) * (у + 2/3) = ху 
{(х + 1) * ( у - 1) = ху 
Раскроем скобки
{ху - 0,5у + 2/3х - 1/3 = ху 
{ху + у - х - 1 = ху 
Получаем
{2/3х = 0,5у + 1/3
{ х = у - 1 
Из первого х = 0,75у + 0,5
подставив во второе, имеем
0,75 у + 0,5 = у - 1
у - 0,75у = 1 + 0,5 
0,25у = 1,5 
у = 1,5 : 0,25 
у = 6 часов - запланированное время
подставим в х = у - 1 это значение, получим
х = 6 - 1 = 5 км/ч - запланированная скорость
А  теперь найдём искомое расстояние АБ
5 км/ч * 6 ч = 30 км
ответ: 30 км

Решение на фото:
Алгоритм нахождения экстремумов:
функции(наибольшее и наименьшее значение функции)
•Находим производную функции
Приравниваем эту производную к нулю
Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1

Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]

Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n

y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.

Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1

Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.

∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)

При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1

Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)