Пусть s(а) и п(а)- соответственно сумма и произведение цифр числа а. найдите наименьшее натуральное число а, свойством: s(а) * п(а)=1998. имеется ли решение этой для свойства s(a) * п(а)=2010».

1. Проще всего разложить 1998 на множители, и подбором найти решение.
1998 = 2 * 999 = 2 * 3^2 * 111 = 2 * 3^3 * 37
Очевидно, что 37 - один из делителей S(a) [ясно же, что это не цифра :)]
- Если S(a) = 37, то П(a) = 2 * 3 * 3 * 3 = 54
Подумаем, как бы заполучить число поменьше с такими суммой и произведением. Ясно, что придется дописывать кучу единиц, логично их дописывать в начало числа, а все остальные цифры сделать побольше, чтобы сэкономить количество разрядов. Не-единицами в нашем случае будут 6 и 9 (их сумма равна 15), тогда надо дописать 37 - 15 = 22 единицы, т.е. кандидат на искомое число - это
111111111111111111111169
- Если S(a) > 37 (т.е. S(a) >= 2 * 37 = 74), то не-единиц в записи числа может быть не более четырех (хотя, как уже понятно, их должно быть меньше). Даже если бы это были четыре девятки, то единиц пришлось бы дописать не менее 74 - 4 * 9 = 38, и получающиеся числа содержали бы не менее 38 цифр - и были бы гарантированно больше, чем уже найденное число, в записи которого "всего лишь" 24 цифры.
ответ 1. 111111111111111111111169

2. Пойдем тем же путем.
2010 = 2 * 3 * 5 * 67
Сумма цифр должна делится на 67, пусть она равна 67, тогда произведение равно 2 * 3 * 5 = 30.
Тогда есть такое число с S(a) * П(a) = 2010:
1111... (57 единиц) ... 111235 = X
Похоже, что оно и будет минимальным числом (по таким же причинам, что и в первом случае). Но даже если это и не так, то минимальное число, удовлетворяющее условию S(a) * П(a) = 2010 всё равно существует: достаточно проверить числа от 1 до X - 1, найти все числа, удовлетворяющие равенству, и выбрать из них наименьшее.
ответ 2. да, имеется.

P.S. Конечно же, для любого натурального N есть наименьшее решение уравнения S(a) * П(a) = N. Как уже было показано, достаточно найти одно решение, из чего следует, что гарантированно найдется наименьшее решение. Но есть универсальное решение, подходящее для любых N - это число, состоящее из N единиц (тогда S(a) = N, П(a) = 1). Поэтому решение задачи имеется при любых N.

Корни уравнения это х,а т.к сумма квадратов корней=8=>2²+(-2)²=8,значит корень уравнения,т.е х=2 или -2,но знак неважен,т.к подставляя корень в ур-е знак на результат не повлияет,теперь находим Р,для этого вместо х подставляем его значение,т.е 2 или -2,я поставлю 2, но можешь подставить и -2,ответ будет тот же: 2²+2р-2=0; 4+2р-2=0; 2р=-2; р=-1, теперь проверяем правильно ли нашли корни: х²+(-1)×х-2=0; х²-х-2=0; D=1-4×1×(-2)=9; х1=(1+3)/2=2; х2=(1-3)/2=-2,значит все верно.Удачи, надеюсь объяснила подробно.

X км/ч - скорость 1 -го, тогда 2-й вторую половину пути ехал со скоростью x+34 км/ч.
На путь S км оба потратили одинаковое время
t1 = S/2 : 51+ S/2 :(x+34) = S/102+ S/(2x+68) ч.
t2= S/x ч.
t1=t2, значит, 
S/102+ S/(2x+68) = S/x
1/102 +1/(2x+68)=1/x
1/x-1/(2x+68)=1/102
102*(2x+68) - 102x = x*(2x+68)
204x+6936 - 102x = 2x^2+68x
2x^2+68x-102x-6936=0
2x^2-34x-6936=0
x^2-17x-3468=0
D=289+4*3468= 289+13872= 14161
√D= 119
x1=(17+119)/2=136/2=68 
x2=(17-119)/2 = - 102/2= -51 <0 не подходит по смыслу
ответ; 68 км/ч скорость 1-го автомобилиста