Для функции f (х) = х3 + 2х2 – 1. найти f (0), f (1), f (-3), f (5

F(0)=0³ +2*0² -1=0+0-1=-1

f(1)=1³+2*1² -1=1+2-1=2

f(-3)=(-3)³ +2*(-3)² -1=-27 +18-1= -10

f(5)=5³ +2*5² -1=125+50-1=174

Ну для начала возьмем все таки этот интеграл (сначал можно как неопределенный)

{сделаем замену } продолжаем вычисление 

Теперь вернемся к исходным переменным:

Интеграл взяли, теперь вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница: , где F(x)-какая-либо первообразная от функции f(x). Выше мы нашли первообразную от f(x) и она оказалась равна F, константу здесь сделали 0.

Ну и теперь получаем

 

ответ:    

 

Примечание: почему я сначала брал неопределенный интеграл?

Потому что при любой замене в определенном интеграле необходимо пересчитывать пределы интегрирования.

Но поскольку мы пользуемся формулой Ньютона-Лебница в которой нам нужно найти именно первообразную, то можно воспользоваться и неопеределенным интегралом, чтобы ничего не пересчитывать. 

log₀₅ 3х-2/х+1 > 1

ОДЗ: (3х - 2)/(х + 1) > 0

Метод интервалов:

особые точки: х = 2/3 и х = -1

исследуем знаки ункции у = (3х - 2)/(х + 1) в интервалах

х ∈(-∞; -1)   у(-2) = -8:(-1) = 8               знак +

х ∈(-1; 2/3)   у(0) = -2 : 1 = -2                знак -

х ∈(2/3; +∞)   у(2) = 4:3 = 4/3                 знак +

Итак, ОДЗ: х ∈(-∞; -1) ∨ (2/3; +∞)

 

log₀₅ (3х-2)/(х+1) > log₀₅ 0,5

Поскольку 0,5 < 1, то соотношение между числами  обратное отношению между логарифмами:

(3х-2)/(х+1) < 0,5

(3х-2)/(х+1) - 0,5 < 0

(3х - 2 - 0,5х - 0,5)/(х+1) < 0

(2,5х - 2,5)/(х+1) < 0

2,5(х - 1)/(х+1) < 0

(х - 1)/( х + 1) < 0

Опять применяем метод интервалов

особые точки: х = 1 и х = -1

исследуем знаки ункции у = (х - 1)/( х + 1) в интервалах

х ∈(-∞; -1)   у(-2) = -3:(-1) = 3               знак +

х ∈(-1; +1)   у(0) = -1 : 1 = -1                 знак -

х ∈(1; +∞)     у(2) = 1:3 = 1/3                 знак +

Итак мы получили , что (х - 1)/( х + 1) < 0 при х ∈(-1; +1)

Наложим этот интервал на ОДЗ. пересечением интервалов будет область

х ∈(2/3; +1)

ответ. решением неравенства является интевал: х ∈(2/3; +1)