Докажите, что для любых натуральных чисел k и n (1 \leq k \leq n) справедливо равенство

 

пусть сестре x лет на момент задачи

тогда, когда сестра была в 3 раза моложе, брат  был возраста x

 

то есть брат на (2/3)*x лет старше сестры

сейчас брату (5/3)*x лет, когда сестре будет (5/3)*x лет, то брату будет (7/3)*x лет 

 

то есть им будет (12/3)*x лет вместе и 96 одновременно

 4*x=96 следовательно x=24

 

сделаем проверку

сестре 24 года, когда ей было 8 лет, брату было 24 => брат на 16 лет старше сестры

=> сейчас брату 40, а когда сестре будет 40, то брату будет 56

56+40=96

 

условие задачи выполняется

 

ответ: сестре 24 года, брату 40 

Решение
Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х + 5) км/ч - его скорость по течению, а (х - 5) км/ч - против течения. Время затраченное катером на путь по течению 45 / (х + 5) ч, а против течения 10 / (х - 5) ч. По условию задачи на весь путь затрачено 2 часа. Составим и решим уравнение:
45 / (х + 5) + 10 / (х - 5) = 2

45*(x - 5) + 10*(x + 5) = 2*(x - 5)*(x + 5)
(x - 5)*(x + 5) ≠ 0, x ≠ - 5; x ≠ 5

45x - 225 + 10x + 50 - 2x² + 50 = 0
2x² - 55x + 125 = 0
D = 3025 - 4*2*125 = 2025
x₁ = (55 - 45)/4
x₁ = 2,5 
x₂ = (55 + 45)/4
x₂ = 25
Проверим корни:
х - 5 = 2, 5 - 5 = - 2, 5 скорость катера не может быть отрицательным числом. Поэтому 25 км/ч - собственная скорость катера.
ответ: 25 км/ч.