Вкоробке 25 цветных карандашей. известно, что среди любых пяти карандашей найдутся хотя бы 2 карандаша одного цвета. докажите, что в коробке найдется 7 карандашей одного цвета.

1  25/5*2=10карандашей найдутся в коробке из 25 карандашей, следовательно в коробке найдутся 7 карандашей одного цвета.

1.   f(x)=x⁴/2   f'(x)=2x³   2x³< 0   x< 0   убывает                                       2x³ > 0   x> 0   возрастаfет 2. f(x)=x²+2x-2   f'(x)=2x+2=2(x+1) -         -                         + убывает х∈(-∞, -1)   возрастает х∈(-1,∞)

Cos a=cos b  ⇔ a=b+2πn или a=- b+2πn. в нашем случае a= sin x; b= cos x, поэтому получаем sin x = cos x+2πn или sin x = -cos x+2πn  и в том, и в том случае 2πn можно отбросить, из-за того, что синус и косинус принимают значения из [-1; 1].  поэтому осталось решить два простейших уравнения sin x = cos x   и   sin x = - cos x. неохота эти уравнения решать стандартно, решим исходя из определения тригонометрических функций. поскольку cos x - это абсцисса, а sin x - ордината точки на единичной окружности, то синус и косинус в точках пересечения с единичной окружностью  биссектрисы первого и третьего координатных углов, а отличаются знаком   - биссектрисы второго и четвертого углов. эти четыре точки решение      x=π/4+πn/2; n∈z