Найти квадратный тричлен если его корень 1-√3

X₁=1-√3 - корень квадратного трёхчлена
Следовательно, x₂=1+√3 - второй корень трёхчлена (как сопряжённый к первому)
Составим квадратный трёхчлен:
(x-x₁)(x-x₂)=0
(x-(1-√3))(x-(1+√3))=0
x²-(1-√3)x-(1+√3)x+(1-3)=0
x²-x+√3x-x-√3x-2=0
x²-2x-2=0 - искомый квадратный трёхчлен

Начнем с того, что выражение x²+y²≥0 при любых x и y, значит отрицательные значения a мы не рассматриваем.

Первое уравнение системы:
x²+y²=a
это уравнение окружности с центром в начале координат. Значение a задает радиус окружности.

Второе уравнение системы:
xy=1
это гипербола y=1/x, лежащая в 1 и 3 координатных четвертях. Самые близкие к началу координат точки, принадлежащие этому графику - (1;1)
и (-1;-1)

Рассмотрим три случая:
1)
a таково, что окружность проходит через точки (-1;-1) и (1;1), следовательно система имеет 2 решения. Найдем a.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами равными 1, гипотенуза=радиус=√(1²+1²)=√2 ⇒ a=√2²=2
При a=2 система имеет 2 решения

2)
а таково, что окружность не пересекает гиперболу y=1/x. это произойдет в том случае, если радиус меньше двух.
При a∈[0;2) система не имеет решений

3)
а таково, что окружность пересекает гиперболу в 4 точках. это произойдет, если радиус больше двух.
При a∈(2;+∞) система имеет 4 решения

Графики для каждого случая приложены для наглядности.

Попробуем найти "шаблоны" расстановок цифр, по которым потом можно будет восстановить любое число, подходящее под определение "хорошего". Затем, исходя из них, посчитаем и количество.

Пусть X = от 1 до 9; и Y = от 1 до 9. При этом X не = Y в один и тот же момент. (то есть одни не могут быть равны одному и тому же числу)

Самый простой вариант  - все числа повторяются ровно или более 2 раз.

Попытаемся внести новое число в шаблон.
Y - не подходит, так как Y должен повторяться ровно или более двух раз.

YYXXX - подходит. При этом YYYXX бессмысленно, так как охватывает тот же диапазон. Далее двигаться также бесполезно, ибо X не может быть только один, а равносилен .
А вот про то, что положения у Y среди X может быть разный, забывать не стоит. Так что стоит учесть все возможные его расстановки.

Тогда количество шаблонов можно будет вычислить как кол-во перестановок Y в X плюс шаблон .

Формулы комбинаторики не помню (2 к 5 тра-та-та) так что буду решать "на живую": с = (4+3+2+1) = 10 - кол-во перестановок
10+1 = 11 - с учетом шаблона .

Теперь о числах. По сути, их всего два. Так как меняются одни в шаблоне одновременно (меняется значение X, то меняются и все X в шаблоне). Так что можно рассматривать это как число XY, но не простое. Как я говорил выше, X не может = Y. И нулями числа быть не могут. Посчитаем количество подстановок цифр вместо X и Y.

L = 9*8 + 8 = 10*8 = 80 (для каждого из 9 X соответствует 8 значений Y (без совпадения), и остается ещё одно значение Y, рассматривая которое, мы приходим к выводу, что для него также есть 8 значений X)

И каждую из этих 80 комбинаций XY можно подставить в 11 шаблонов, что даст возможность воссоздать любое "хорошее" пятизначное число.

80*11 = 880 - ответ