Какие остатки могут иметь натуральные числа при делении на 10.

Значение остатка - от 1 до 9

Нечетные числа только 3,7, 9 у 3 остаток 0.(3)7 и 9- 0.(1)

Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1)

Знаходимо найбільше і найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2].

f(-5) = ((-5)^2-8*(-5))/(-5+1)  = 65/(-4) = -16,25.

f(-2) = ((-2)^2-8*(-2))/(-2+1)  = 20/(-1) = -20.

Визначаємо точки екстремуму даної функції.

Знаходимо первісну:

f'(x) = (2x-8)*(x+1) - 1*(x^2-8x))/((x+1)^2) = (x^2 + 2x - 8)/((x + 1)^2).

Прирівнюємо їі до 0 (достатьно чисельник):

x^2 + 2x - 8 = 0,   Д = 4+4*8 = 36, х1 = (-2 - 6)/2 = -4,  х2 = (-2 + 6)/2 = 2.

Знаходимо знаки первісної:

х =     -5             -4             1            2                3

y' = 0,4375    0      -1,25        0      0,4375 .

У точці х = -4 маємо максимум функції,

f(-4) = ((-4)^2-8*(-4))/(-4+1)  = 48/(-3) = -16.

Відповідь:

- найбільше значення даної функції на проміжку [-5,-2]  дорівнює -16,

- найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2] дорівнює -20,

- максимум функції у точці х = -4,

- мінімум функції у точці х = 2.

Исследовать функцию y=-x^4+8x^2-9 и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция y=-x^4+8x^2-9 непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 Так как переменная имеет чётные показатели степени, то функция чётная, непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат: 

Ox: y=0, -x^4+8x^2-9=0, заменим x^2 = n.

Квадратное уравнение, решаем относительно n: 

Ищем дискриминант:

D=8^2-4*(-1)*(-9)=64-4*(-1)*(-9)=64-(-4)*(-9)=64-(-4*(-9))=64-(-(-4*9))=64-(-(-36))=64-36=28;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

n₁=(√28-8)/(2*(-1)) = (√28-8)/(-2) = -(2√7/2-8/2)= 4 -√7 ≈ 1,354249;

n₂ = (-√28-8)/(2*(-1)) = (-2√7-8)/(-2)= 4 + √7 ≈ 6,645751.

Обратная замена: х = √n.

x₁ = √1,354249 = 1,163722,     x₂ =   -1,163722.

 x₃ = √6,645751 = 2,57793,     x₄ = -2,577935.

Получаем 4 точки пересечения с осью Ох:

(1,163722; 0),  (-1,16372; 0),  (2,57793; 0),  (-2,57793; 0).

 x₃ = √6,645751 = 2,57793,

Oy: x = 0 ⇒ y = -9. Значит (0;-9) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y=-x^4+8x^2-9.

y'=0 ⇒-4x³+16x = 0 ⇒ -4x(x²-4) = 0.

Имеем 3 критические точки: х = 0, х = 2 и х = -2.

Определяем знаки производной вблизи критических точек.

x =   -3       -2      -1      0      1       2       3

y' =   60      0      -12     0     12      0     -60.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Минимум функции в точке: x = 0.

Максимумы функции в точках:

x = -2.

x = 2.

Убывает на промежутках (-2, 0] U [2, +oo).

Возрастает на промежутках (-oo, -2] U [0, 2).

 6. Вычисление второй производной: y''=-12х² + 16 , 

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0

Вторая производная  4 \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0.

Решаем это уравнение

Корни этого уравнения

x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}.

x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]

Выпуклая на промежутках (-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)

 8. Искомый график функции в приложении.

Подробнее - на -

Объяснение: