Решите неравенство (x+7)(x-5)< 0, в ответе укажите длину промежутка, являющегося решением данного неравенства.

(x+7)(x-5)< 0

x+7=0

x=-7

 

 

x-5=0

x=5

 

          +                     -                       +

+++++++++++++++++++

                    -7                     5

 

ответ: -7< x< 5

ответ:   .

объяснение:

если левая часть неравенства полностью разложена на множители, то ищем нули левой части. в данном случае это х=2 , х=5 , х=12 , так как

отметим эти точке на числовой оси и подсчитаем знаки выражения в каждом из образовавшихся интервалов, подставив любую точку из проверяемого интервала в левую часть неравенства:

теперь выбираем промежутки, где получили знак (+), т.к. заданное неравенство имело знак "> " .

Этот корень называют арккосинусом числа a и обозначают arccos a. определение арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен а: если и все корни уравнений вида cos(х) = а, где , можно находить по формуле можно доказать, что для любого справедлива формула эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. уравнение sin х = а из определения синуса следует, что . поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. например, уравнение sin x = 2 не имеет корней. уравнение sin х = а, где , на отрезке имеет только один корень. если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то корень заключён в промежутке этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а определение арксинусом числа называется такое число , синус которого равен а: , если и все корни уравнений вида sin(х) = а, где , можно находить по формуле можно доказать, что для любого справедлива формула эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел. уравнение tg х = а из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а. уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то в промежутке . этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a определение арктангенсом любого числа a называется такое число , тангенс которого равен а: , если и все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле можно доказать, что для любого a справедлива формула эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел. решение тригонометрических уравнений выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = а, tg x = а. к этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений. уравнения, сводящиеся к квадратным решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0 заменяя cos2 х на 1 - sin2х, получаем 2 (1 - sin2х) - 5 sin х + 1 = 0, или 2 sin2х + 5 sin x - 3 = 0. обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5 1) sin х = - 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1; 2) sin х = 0,5; ответ решить уравнение 2 cos2 6х +8 sin 3х cos 3x - 4 = 0 используя формулы sin2 6x + cos2 6x = 1, sin 6х = 2 sin 3x cos 3x преобразуем уравнение: 3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = 0 => 3 sin2 6х - 4 sin 6x + 1 = 0 обозначим sin 6x = y, получим уравнение 3y2 - 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3 1) 2) ответ уравнение вида a sin x + b cos x = c решить уравнение 2 sin x + cos x - 2 = 0 используя формулы и записывая правую часть уравпения в виде получаем поделив это уравнение на получим равносильное уравнение обозначая получаем уравнение 3y2- 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1= 1/3 1) 2) ответ в общем случае уравнения вида a sin x + b cos x = c, при условиях можно решить методом введения угла. разделим обе части этого уравнения на : введём аргумент , такой, что такое число существует, так как таким образом, уравнение можно записать в виде откуда где или изложенный метод преобразования уравнения вида a sin x + b cos x = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения угла. решить уравнение 4 sin x + 3 cos x = 5 здесь a = 4, b = 3, . поделим обе части уравнения на 5: введём аргумент , такой, что исходное уравнение можно записать в виде откуда ответ уравнения, решаемые разложением левой части на множители многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители. решить уравнение sin 2 х - sin х = 0 используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin х cos x - sin x = 0. вынося общий множитель sin x за скобки, получаем sin x (2 cos x - 1) = 0 1) 2) ответ решить уравнение cos 3х cos х = cos 2x cos 2х = cos (3х - х) = cos 3х cos x + sin 3х sin x, поэтому уравнение примет вид sin x sin 3х = 0 1) 2) заметим, что числа содержатся среди чисел вида следовательно, первая серия корней содержится во второй. ответ решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2x = 5 выразим sin2x через cos 2x. так как cos 2x = cos2x - sin2x, то cos 2x = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2x = 1 - 2 sin2 х, откуда sin2 х = 1/2 (1 - cos 2x) поэтому исходное уравнение можно записать так: 3(1 - cos 2x) + 2 (1 - cos2 2х) = 5 2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0 cos 2х (2 cos 2x + 3) = 0 1) cos 2х =0, 2) уравнение cos 2x = -3/2 корней не имеет. ответ