Система уравнений. двойная замена переменных { (x^2+1)(y^2+1)=10 { (x+y)(xy-1)=3

(xy)^2+1+x^2+y^2=10

(x+y)(xy-1)=3

 

(xy)^2+(x+y)^2-2xy=9

x+y=t

xy=s

 

t(s-1)=3                          t=3/(s-1)

s^2+t^2-2s=9

 

s(s^3-4s^2-4s+16)=0

s=0 s=2 s^2-2s-8=0

s=4 s=-2

 

-2 ; 0; 2; 4;   = xy

-1 ; -3 ; 3; 1  = x+y

 

(-2; 1)

(1; -2)

 

(0; -3)

(-3; 0)

 

(2; 1)

(1; 2)

 

нет решений

 

ответ

(-2; 1) (1; -2)  (0; -3) (-3; 0)  (2; 1) (1; 2)

 

 

Это парабола, ветви которой направлены вверх. соответственно, если вершина этой параболы будет лежать в области определения функции y (т.е. будет выше оси абсцисс), то именно в ней достигается наименьшее значение. если у этой параболы есть корни, то наименьшее значение функции будет равно нулю (т.к. выражение под корнем не может быть меньше нуля). дабы убедиться, что корней нет, проверим дискриминант: вещественных корней нет, будем искать координаты вершины. теперь, максимальное значение нашей функции

1)y=1/2x-1 прямая проходит через точки (0; -1) и (2; 0) y=-1/4x+1 прямая проходит через точки (0; 1) и (4; 0) 1/2x-1=-1/4x+1 1/2x+1/4x=1+1 3/4x=2 x=2: 3/4=2*4/3=8/3=2 2/3 y=1/2*8/3-1=4/3-1=1/3 (2 2/3; 1/3)-точка пересечения 2)а)y=2x+b    a(1; -1) -1=2+b⇒b=-3 y=2x-3 прямая проходит через точки (1; -1) и (0; -3) б)b(-2; -4) -4=-4+b⇒b=0 y=2x прямая проходит через точки (-2; -4)  и (0; 0) 3) f(x)=x² +x+m        a(-1; 2)2=1-1+m⇒m=2f(x)=x²+x+24) f(x)=x³+mx      n(-1; 1)     найдите f(2) 1=-1-m⇒m=-2 f(x)=x³-2x f(2)=8-4=4