Докажите тождество sin (α+β) + sin (α-β) = 2 sin α cos β

sin(α+β) = sin(α)∙cos(β) + cos(α)∙sin(β)sin(α-β) = sin(α)∙cos(β) - cos(α)∙sin(β)sin(α+β) + sin(α-β) = (sin(α)∙cos(β) + cos(α)∙sin(β)) + (sin(α)∙cos(β) - cos(α)∙sin(β))sin(α+β) - sin(α-β) = 2∙sin(α)∙cos(β)

{x  + y    -  z  = 5              (i) { x  - y  +  z    = 3              (ii) { x  - y  -  z  =  - 1              (iii) (i)  + (ii) x +y  -  z    +  x  - y    + z  = 5 + 3 (x+x) + (y-y)  + (-z + z ) =  8 2x = 8 x  = 8 : 2 х = 4 (ii)  - (iii) x  - y  + z  - (x  - y  - z ) =  3  - (-1) x - y  + z  -x  +y  + z  =  3 +1 (x -x) + (-y + y)  + (z + z) = 4 2z = 4 z  = 4 : 2 z = 2 x = 4  ; z =2    в ур. (i) 4 + y  - 2  = 5 2 + y = 5 y = 5 - 2 y = 3 ответ :     ( 4 ;   3 ;   2).

Последняя цифра числа 2^k чередуется по закону: 2,4,8,6,2,4,8, длинна периода равна 4   цифры. остаток   от деления 2015  на  4   равен 3 (2012   делиться на 4) значит 2^2015 кончается на цифру   8 .   для   нахождения остатка от деления на 11, воспользуемся следующим   приемом: найдем самое близкое    число 2^k   при делении   на 11   остаток 1.   это число: 2^10=1024 2^10=11*93+1     2^2010=(2^10)^201=(11*93+1)^201 в данном выражении   бинома ньютона ,каждое слагаемое   кроме 1^201 =1   делиться на 11. таким образом   остаток от деления 2^2010 на 11   равен 1. 2^2010=11*k+1 2^2015=11*k*2^5+2^5=11*m+32=11*(m+2)+10 2^2015 при   делении на 11   дает остаток 10. последняя цифра  числа 3^k  чередуется по закону: 3,9,7,1,3,9,7, длинна   периода 4 цифры. 2014 при   делении на 4   дает   остаток 2. то   3^2014 кончается на цифру 9.   найдем теперь остаток от деления   на 11: число в остатке 1: 3^5=243  3^5=11*22+1   3^2010=(3^5)^402=(11*22+1)^402. снова дает   остаток  1^402=1 (по   тому же принципу   прошлого примера) 3^2010 дает   при делении   на 11   остаток 1. 3^2010=11*n+1 3^2014=11*n*3^4+81=11*(r+7)+4 3^2014   при   делении   на 11   дает   остаток 4. число  a кончается   на цифру   7   (8+9=17). число a   при   делении на 11   дает остаток 3. (тк   a=11(m+2)+10+11*(r+7)+4=11*x+14=11*(x+1)+3) ответ: кончается на цифру 7 ; при делении на 11   дает остаток 3.