Составить каноническое уравнение эллипса, если даны его вершины (0, 3) и (0, -3) и расстояние между фокусами, равное 8.

Каноническое уравнение эллипса:

Любой эллипс симметричен относительно координатных осей и начала координат. Центр симметрии нашего эллипса в начале координат.
Из известных координат вершин получим величину малой полуоси: b=3 (расстояние от начала координат до эллипса). 
Поскольку расстояние от фокуса до начала координат подчиняется тождеству
c = , 
получим:
Расстояние от фокуса до центра симметрии будет равно 4, b = 3, тогда:

= 16+9 = 25
a = 5.
Каноническое уравнение:

Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю. 

y´(x)=(x3-3x2-9x+31 )´= 3x2 - 6x - 9 - существует при любых x.

3x2 - 6x - 9=0

Сократим на 3: x2 - 2x - 3=0

D= b2-4ac, D = (-2)2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 =16

x1,2= (-b±√D) / 2a,

x1,2= (-(-2) ±√16) / 2*1 = (2±4) / 2 = 3, -1. 

x1= -1, x2= 3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.

Когда производная меньше нуля, функция убывает.

Когда производная больше нуля, функция возрастает.

Посмотрим на знаки производной.

При x<-1 y´(x)>0, функция y(x) возрастает

При -1 <x< 3 y´(x)<0, функция y(x) убывает

При х>3 y´(x)>0, функция y(x) возрастает

 На отрезке [-1; 4] функция убывает до точки х=3 и возрастает после нее, значит наименьшее значение в точке 3.

Подставим х=3 в функцию, получаем: y(3) = 33- 3*32- 9*3+ 31= 27-27-27+31= 4,  это и будет ответ.

ответ: 4.

Х км/ч - скорость лодки при движении по озеру 
(х - 2) - скорость лодки против течения 
6/(х - 2) - время движения против течения 
15/х - время движения по озеру 
Уравнение 
15/х - 6/(х - 2) = 1 
15*(х - 2) - 6х = х * (х - 2)    при х ≠ 2 
15х - 30 - 6х = х² - 2х 
х² - 11х + 30 = 0 
D = b² - 4ac 
D = 121 - 120 = 1 
x₁ = (11 - 1)/2 = 5 км/ч 
x₂ = (11 + 1)/2 = 6 км/ч  

Проверка х = 5 км/ч 
15/5 - 6/3 = 1 
            1 = 1 
Проверка   х = 6 км/ч 
15/6 - 6/4 = 1 
5/2 - 3/2 = 1 
 2/2  =  1  
    1 = 1  
ответ: 5 км/ч    или  6 км/ч  подходят оба решения