Найти промежутки монотонности функций a)y=5x^2-3x-1 б)y=x^2+12x-100 в)y=x^4-2x^2 г)y=x^3-6x^2+9 , или объясните как решать

Решение
а)   у =  5x² - 3x - 1
1) Находим производную:
y` = 10x - 3
2)  Находим нули функции
10x - 3 = 0
10x = 3
x = 3/10
3)  На промежутке (-∞; 0,3) y` < 0. Значит функция убывает
 На промежутке (0,3; + ∞) y` > 0. Значит функция убывает
4)  В окрестности точки 0,3 производная меняет знак с (-) на (+).
Значит, точка х = 0,3 - точка минимума.
б)  у =  x² + 12x - 100
Решаем аналогично
1) y` = 2x + 12
2) 2x + 12 = 0
2x = - 12
x = - 6
3)   (- ∞; - 6) y` < 0 убывает
  (- 6; + ∞) y` > 0 возрастает
4) точка х = - 6 - точка минимума
в)  y = x⁴ - 2x²
1)  y` = 4x³ - 4x
2)  4x³ - 4x = 0
4x(x² - 1) = 0
x₁ = 0
x - 1 = 0
 x₂ = 1
x + 1 = 0
x₃ = - 1
3) (- ∞; - 1)   y` < 0 убывает
  (-1 ; 0)     y` > 0 возрастает
   (0; 1)      y` < 0 убывает
(1; + ∞)     y1 > 0 возрастает
 4)  х = - 1 - точка минимума
х = 0  -  точка максимума
х = 1  -  точка минимума
г)  y = x³ - 6x² + 9
1)  y` = 3x² - 12x
2)  3x² - 12x = 0
3x(x - 4) = 0
x = 0
x - 4 = 0
x = 4
3)  (- ∞; 0)   y` > 0    возрастает
(0;4)            y` < 0    убывает
(4;+ ∞)        y` > 0    возрастает
4)  х = 0 - точка максимума
х = 4 - точка минимума 

Уравнение четвёртой степени имеет вид:
   
Разделим обе части на коэффициент , получаем
             
где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.

Уравнения вида приводится уравнение четвёртой степени, у которых отсувствует третьей степени., поэтому нужно сделать замену переменных, тоесть
   , где  - коэффициент перед х^3 и 4 - произвольные вещественные числа

В нашем случае такое уравнение: 
Заменим , получаем
 

Получаем кубическое уравнение: 
В нашем случае: 
Подставляем и получаем уравнение
  
Разложим одночлены в сумму нескольких
   
Выносим общий множитель

Уравнение 16s²+288s+3343=0 решений не имеет, так как D<0

Таким образом для решения уравнения остается квадратное уравнение

Заменяем
  

Возвращаемся к замене
  

Окончательный ответ: 

x² + (m - 1)x + m² - 1,5 = 0

По теореме Виета :

x₁ + x₂ = - (m - 1)

x₁ * x₂ = m² - 1,5

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁ * x₂ = (- (m - 1))² - 2 * (m² - 1,5) = m² - 2m + 1 - 2m² + 3 = - m² - 2m + 4

Найдём производную полученного выражения :

(- m² - 2m + 4)'= -2m - 2

Приравняем к нулю и найдём нули производной :

- 2m - 2 = 0

m + 1 = 0

m = - 1

Отметим полученное число на числовой прямой и найдём знаки производной на промежутках, на которые разбивается числовая прямая :

            +                                -

- 1

           ↑               max              ↓

ответ : при m = - 1 сумма корней уравнения наибольшая