Сколько существует прямоугольных треугольников, стороны которых выражались бы целыми числами, причем все 9 цифр, участвующих в записи сторон различны

это просто перебор пифагоровых троек тоесть они должны улажиться в это условие 

x^2+y^2=z^2

то есть например

3^2+4^2=5^2 (различны) 

  это прямоугольный треугольник

  6^2+8^2=10^2   (различны)

Одно и только одно решение. x₀∈(2⁻¹⁰;2⁻⁹)

Объяснение:

f(x)=log₀,₅x; g(x)=(x+3)²

Функция f(x)=log₀,₅x определена и строго убывает при x∈(0;+∞). Значить возможные решения имеет смысл искать при x∈(0;+∞).

Функция g(x)=(x+3)² при x∈(0;+∞) возрастает.

Если на определенном промежутке обе функции непрерывны, так же  одна из функций возрастает, а вторая убывает, то они пересекаются не более чем в одной точке. Из чего следует, что уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Рассмотрим два значения аргумента. f(x)=log₀,₅x; g(x)=(x+3)²

1) x=2⁻⁹

f(2⁻⁹)=log₀,₅2⁻⁹=9

g(2⁻⁹)=(2⁻⁹+3)²=9+3·2⁻⁸+2⁻¹⁸>9⇒f(2⁻⁹)<g(2⁻⁹)

2) x=2⁻¹⁰

f(2⁻¹⁰)=log₀,₅2⁻¹⁰=10

g(2⁻¹⁰)=(2⁻¹⁰+3)²=9+3·2⁻⁹+2⁻²⁰<9+1=10⇒f(2⁻⁹)>g(2⁻⁹)

Из чего следует,что данное уравнение имеет единственный действительный корень, и он принадлежит отрезку [2⁻¹⁰;2⁻⁹]