Y= (x+8)e^8-x найти производную и точку максимума

Смотреть вложение ниже 
                    +                             -
_____________________-7_________________
                                  max

x(max)=-7

В решении.

Объяснение:

Построить в одной системе координат графики функций:

у = х³;     у = 5х³;       у = х³/4;        у = 4х³.

Все графики - кубические параболы с вершиной в начале координат (0; 0). у = х³ - классическая парабола, остальные, в зависимости от коэффициента перед х³ "уже" или "шире" её.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

1) у = х³;

Таблица:

х   -2     -1     0     1     2

у   -8     -1     0     1     8

2) у = 5х³;

Таблица:

х   -2     -1     0     1      2

у  -40    -5    0     5    40

3) у = 1/4 х³ = х³/4;

Таблица:

х     -3      -2       -1       0      1       2      3

у  -6,75    -2    -0,25   0    0,25   2   6,75

4) у = 4х³;

Таблица:

х   -2     -1     0     1      2

у  -32    -4    0     4    32

Функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж: