Докажите, что выражение 456³-156³ нацело делится на 300 и 254³+238³ нацело делится на 123

Это про формулы для разности кубов и суммы кубов.
Разность кубов  a^3-b^3  содежит множитель (a-b). Здесь это 456-156=300, поэтому первая разность делится на 300.
Точно по такой же причине вторая сумма делится на (254+238)=492
А , поскольку 492=123*4, сумма делится и на 123.

Объяснение:

Как найти область определения функции?

Примеры решений

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:

Область определения функции

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:

(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.

Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:

Область определения функции, в которой есть дробь

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби

5cos²x-sinxcosx-2sin²x-2cos²x=0
2sin²x+sinxcosx-3cos²x=0 /cos²x≠0
2tg²x+tgx-3=0
tgx=a
2a²+a-3=0
D=1+24=25
a1=(-1-5)/4=-3/2⇒tgx=-1,5⇒x=-arctg1,5+πn
a2=(-1+5)/4=1⇒tgx=1⇒x=π/4+πn
x=-arctg1,5;-3π/4;π/4∈[1;9]

2)f`(x)=6/√x-3√x/2=(12-3x)/2√x=0
12-3x=0⇒3x=12⇒x=4∈[1;9]
f(1)=12-1=11-наим
f(4)=12*2-8=24-8=16
f(9)=12*3-27=36-27=9

3)у = 2х³ - рх² + рх - 15
y`=6x²-2px+p=0
D=4p²-24p=4p(p-6)
Чтобы функция у = 2х^3 - рх^2 + рх - 15 возрастает на всей числовой прямой,D<0
p=0  p=6
        +                   _                 +

               0                     6
p∈(0;6)