Сократите дробь и найдите ее значение x^3y-xy^3/xy^2+x^2y при х=1/3 у=1/4

Решение - в приложении

Xy(x²-y²)/xy(y+x)=xy(x-y)(x+y)/xy(y+x)=x-y
x=1/3   y=1/4
1/3-1/4=4/12-3/12=1/12

Рассмотрим два числа A и В 

Пусть A=a²+b² B=c²+d²  Надо доказать что A*B=x²+z²

A*B=(a²+b²)*(c²+d²)=a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²)  + 2*abcd - 2*abcd = *
1. * = (a²c² +2*ac*bd  +b²d²) + (a²d²  - 2*ad*bc+ b²c²)  = (ac + bd)² + (ad - bc)²

2. *=  (a²c² - 2*ac*bd  +b²d²) + (a²d²  + 2*ad*cd+ b²c²)  = (ac - bd)² + (ad + bc)²

Таким образом нашли x₁₂ = ac + - bd  и z₁₂ = ad - + bc    

доказали что если каждое из двух чисел  представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел

При делении многочлена третьей степени на двучлен  (х-1) в частном должны получить многочлен второй степени, коэффициенты которого неизвестны и остаток 9. В виде равенства это можно записать так:
ах³-х²+(а+1)х+5=(х-1)·(ax²+bx+c)+9
Раскроем скобки справа и приравняем многочлены.
Два многочлена равны, если у них степени равны и
коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны
ах³-х²+(а+1)х+5=ax³+bx²+cх-ах²-bx-c+9
ах³-х²+(а+1)х+5=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c+9    ⇒ b-a=-1
                                                                   c-b=a+1
                                                                     5=-c+9
c=9-5=4
Подставляем с=4 во второе равенство
4-b=a+1
b-a=-1
Решаем систему двух уравнений
выражаем а из первого
a=3-b
и подставляем во второе
b-(3-b)=-1    ⇒2b=2    ⇒  b=1
a=3-b=3-1=2
ответ. При а=2