Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функций y = x² - 4x + 5; y = 5 - x

Находим пределы интегрирования:
 x² - 4x + 5 = 5 - x,
 x² - 3x = 0,
 х(х - 3) = 0.
 Отсюда 2 решения:
х = 0, х = 3.
Тогда S = 

ответ: -1/2·ln (1+y²/x²) +arctg (y/x)= ln(x)

Объяснение:это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u·x, y' = u'x + u.

u+u'·x+(u·x+x)/(u·x-x) = 0

или

u·x/(u·x-x)+u+u'·x+x/(u·x-x) = 0 , вынесем х за скобки и сократим дроби, получим:  u/(u-1) +u +u'x + 1/ (u-1)=0  ⇒   u'x= -1/(u-1)  - u/(u-1) -u   ⇒                             u'x= -(1+u²)/(u-1) ⇒Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными: -(u-1)/(u²+1)·du =1/x ·dx. Проинтегрируем обе части, получим: -1/2· ln(u²+1) +arctg(u) = ln(x)   Но у=ux ⇒u=y/x, значит:  -1/2·ln (1+y²/x²) +arctg (y/x)= ln(x)

4sin²x + sin2x = 3 ⇔ 4sin²x + 2sinx*cosx = 3(sin²x+cos²x) = 0 ⇔

sin²x + 2sinx*cosx - 3cos²x =0 ⇔  ||  : cos²x ≠ 0 ||

* * *  однородное  уравнение второго порядка  Au²+Bu*v +Cv²  * * *

tg²x + 2tgx - 3 =0  ( квадратное уравнение относительно tgx )  

tgx₁ = 1  ;  tgx₂ = - 3

x₁ = π/4 +πn , n ∈ ℤ  ;  

x₂ =arctg(-3) + πk ,k ∈ ℤ            ||    arctg(-3)  = -arctg(3)  ||

ответ:  π/4 +πn , n ∈ ℤ  ;  - arctg(3) + πk ,k ∈ ℤ  .

4sin²x + sin2x = 3 ⇔​ 4(1 - cos2x) /2 + sin2x = 3​⇔ 1sin2x -2cos2x = 1 ⇔

√5 ( (1 /√5)*sin2x - (2/√5) *cos2x  ) =  1            * * * √ (1²+2²) = √5 * * *

* * *    1 /√5 = cosφ ;   2/√5 =sinφ ;  2 = tgφ   * * *

√5( sin2x*cosφ  - cos2x *sinφ  ) =  1    ⇔ √5( sin(2x - φ) ) =  1

sin(2x - φ) = 1/√5  ⇒ 2x - φ = (-1)ⁿarcsin( 1/√5)  + πn  ,  n∈ ℤ

x  =  0,5φ + 0,5(-1)ⁿarcsin( 1/√5)  + πn  ,  n∈ ℤ

* * *  φ = arccos(1 /√5)  ; φ= arcsin(2/√5) ;   φ= arctg2   * * *